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Niveau Licence Maths 1e ann
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Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement.

Posté par
lilealias
19-09-19 à 23:36

Bonjour,
  Dans un livre de maths (Algèbre),  j'ai trouvé une définition de la puissance d'un ensemble:
Soit E un ensemble, la collection de tous les ensembles équipotents à E, est dite puissance ou nombre cardinal de E.
  D'abord, je n'ai pas compris ce que c'est la puissance d'un ensemble. De plus, d'après la d'éfinition, E est un ensemble quelconque, donc est ce qu'on peut parler de cardinal d'un ensemble discontinu comme ?
  soit l'ensemble A={1,2,...,n} avec n, on a A, donc il existe une injection de A dans (injection canonique), mais comment montrer que A et sont équipotents? (je veux prouver que A est dénombrable).
  

Posté par
jsvdb
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 00:17

Bonjour lilealias.

En gros, la puissance d'un ensemble est la classe (la collection) de tous les ensembles qui sont en bijection entre eux.
Evidemment, un tel objet est indescriptible et on lui choisit un représentant qu'on appelle  cardinal (du latin cardinalis (« autour duquel tout tourne »), dérivé de cardo (« pivot », « gond »). Ce sens est appliqué aux nombres autour desquels tout tourne).

Par exemple :

quel est le cardinal de l'ensemble vide ?
Comme il n'existe qu'un ensemble vide, alors il est le seul dans sa classe.
Donc le cardinal de l'ensemble vide est l'ensemble vide. On le note en général 0.

Quel est le cardinal de l'ensemble {0} ?
Là, il existe une très grosse classe d'objet qui sont en bijection avec {0} : ce sont tous les éléments de la forme {x}.
Là, il est plus difficile de choisir un élément privilégié dans cette classe pour servir de cardinal. Alors on le note 1 et on a 0 1.

Quel est le cardinal de l'ensemble {0,1} ?
Là aussi il existe une très grosse classe d'objet qui sont en bijection avec {0,2} : ce sont tous les éléments de la forme {x,y} avec x y.
Là aussi il est difficile de choisir un élément privilégié dans cette classe pour servir de cardinal. Alors on le note 2.

Bref, là, on construit tous les cardinaux finis.

Etc etc.

Quel est le cardinal de l'ensemble \N ?
La classe de l'ensemble \N est donc constituée de tous les ensembles en bijection avec \N
Là, pareil difficile de choisir un élément privilégié dans cette classe pour servir de cardinal. Alors on le note \aleph_0.

Quel est le cardinal de l'ensemble \R ?
La classe de l'ensemble \R est donc constituée de tous les ensembles en bijection avec \R
Là, pareil difficile de choisir un élément privilégié dans cette classe pour servir de cardinal. Alors on le note \aleph_1.
On a donc \text{cardinal}(\R) = \aleph_1.

On a \aleph_0 < \aleph_1

L'hypothèse du continu affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal soit strictement compris entre \aleph_0 et \aleph_1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 11:03

Bonjour,
@jsvdb,
Tes explications sont très claires ( pour moi en tous cas ), mais
avant d'écrire \; \aleph_0 < \aleph_1 , ne faudrait-il pas définir une relation d'ordre quelque part ?

Posté par
jsvdb
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 11:43

Bonjour Sylvieg.
Effectivement, je ne suis pas rentré dans tous les détails, mais oui, il faut définir une relation d'ordre sur la classe des puissances, et ce à l'aide des cardinaux.

Si \mathfrak a et \mathfrak b sont deux cardinaux (disons, accessibles dans un premier temps), on a \mathfrak a \leq \mathfrak b s'il existe une injection \mathfrak a \rightarrow \mathfrak b.

Alors je confonds le cardinal et l'un des quelconques représentants de la classe qu'il représente. L'ordre sur la classe propre des cardinaux accessible est un ordre total et même un bon ordre.

On peut définir des opérations sur les cardinaux et notamment si \mathfrak c est un cardinal, alors on peut définir \mathfrak c+1 qui est un cardinal.

Dans ce cas, un cardinal est dit fini si  \mathfrak c \neq \mathfrak c+1.

Et l'hypothèse du continu généralisée dit que si un cardinal \mathfrak c est infini alors, en désignant par \mathfrak c' un cardinal qui lui est strictement supérieur, alors \mathfrak c' contient au moins une partie équipotente à \mathfrak P(\mathfrak c).

Ou encore que si \mathfrak c est un cardinal infini, le cardinal qui lui est immédiatement supérieur est \mathfrak c'=2^{\mathfrak c} et il n'existe aucun cardinal compris entre ces deux là.

Posté par
lilealias
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 12:28

Merci beaucoup Mr jsvdb pour cette explication claire, j'ai aussi trouvé que l'hypothèse du continu est prouvée par Cantor en utilisant le procédé diagonal.
Je veux juste comprendre comment prouver que l'ensemble {1,2,...,n} est dénombrable, i.e. qu'il y'a une bijection entre {1,2,...,n} est , et par conséquent je suis confondu, car si c'était le cas (bijection entre deux ensembles) alors {1,2,...,n} et ont le même cardinal ?

Posté par
jsvdb
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 12:34

Citation :
j'ai aussi trouvé que l'hypothèse du continu est prouvée par Cantor en utilisant le procédé diagonal.

Oh non non non ! L'hypothèse du continu n'a jamais été prouvée, et elle même remise en question en ce moment.
Tu as voulu dire que Cantor a prouvé que \R avait la puissance du continu, ce qui n'est pas pareil.

Posté par
jsvdb
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 12:36

Citation :
Je veux juste comprendre comment prouver que l'ensemble INn={1,2,...,n} est dénombrable

Alors attention, comme tu l'as écrit l'ensemble INn est fini. Il n'y a donc pas de bijection entre INn et IN.

Posté par
jsvdb
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 12:39

Et un ensemble est fini si son cardinal est fini.
INn est en bijection avec {0,1,...n-1} donc son cardinal est celui que je note \mathfrak n.

Posté par
jsvdb
re : Puissance d'un ensemble, cardinal,dénombrement. 20-09-19 à 12:42

Alors après, il y a plusieurs définition de "dénombrable" :
- celle qui dit que dénombrable = en bijection avec IN
- l'autre qui dit que dénombrable = en bijection avec IN ou l'une de ses parties finies.



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