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Puissance d'une matrice
Bonjour,
j'aimerai avoir votre avis sur ma résolution de cet exercice, si c'est juste ou faux et si le raisonnement est juste ou non.
Calculer les puissances de la matrice :
B=(0 1)
(2 0)
J'ai calcule les premières puissances de cette matrice, j'ai conjecturé que pour les puissances paires :
B2p=(2p 0)
(0 2p)
et pour les puissances impaires : B2p+1=(0 2p)
(2p+1 0)
J'ai ensuite démontré chacune de ces conjectures par récurrence.
Et j'ai ensuite conclu que :
Bp={(2p/2 0) si p est pair
{(0 2p/2)
{(0 2(p-1)/2) si p est impair
{(2(p+1)/2 0)
Désolé pour la présentation, merci d'avance pour votre retour.
Bonjour
ça m'épate un peu que tu aies pu démontrer chacune des conjectures par récurrence : c'est vraiment une récurrence que tu as faite ? pas une preuve directe en utilisant B² = 2I ?
donc et
?
Bonjour, déjà merci pour votre réponse.
En hypothèse de récurrence, j'ai posé : "B2p= la matrice que j'ai conjecturée".
Pour p=0, on trouve bien que B2.0 est égal à I en utilisant la formule de la conjecture.
Ensuite, j'ai supposé que l'hypothèse de récurrence est vraie au rang n.
Puis j'ai calculé B2(p+1)=B2p+2=Bp.B2 et on trouve bien ce que l'on veut.
J'ai fait une autre récurrence sur le même principe pour B2p+1
Justement je trouvais ça bizarre de faire 2 récurrences.
Je n'avais pas pensé à faire une démonstration directe. Ceci dit, dans votre démonstration, vous démontrez bien chaque cas à part.
Merci pour tout en tout cas.
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