Soit C=[0 1 1       D= [0 0 0     E=[0 0 1         F=[0 0 0    I=[1 0 0
             0 0 1             1 0 0          0 0 0               0 0 0         0 1 0
             0 0 0]            1 1 0]         0 0 0]              1 0 0]        0 0 1
et calcule C^2, C^3, CD, etc...
puis exprime A, A^2...., B, B^2...

merci mais même en calculant je ne vois vraiment pâs ce que je dois faire!(j'ai beaucoup de mal en math!!)

Salut,

T'es en quelle classe? Tu sais diagonaliser une matrice?

Sans diagonaliser, tu peux facilement calculer la puissance de la matrice B en la décomposant comme somme de la matrice identité et d'une matrice nilpotente.Puisque ces matrices peuvent commuter entre elles, tu peux utiliser Leibniz et calculer la puissance n-ième de B.

Pour A, si tu sais diagonaliser, je te donnerai une méthode si tu vois pas trop.

Voilou

Une ptite erreur: tu décomposes avec la matrice 2*identité...

Soit M=[1 1 1
            1 1 1
            1 1 1 ]
M^2=3M,   M^n=3^(n-1)M
Or A=M-I donc A^n=(M-I)^n=Somme (-1)^nC(n,k)M^k=Somme(-1)^nC(n,k)3^k*M/3=(2^n/3)*M
Par ailleurs C^2=2D, C^3=0;
Or B=2I+C, B^n=(2I+C)^n=Somme C(n,k)2^(n-k)C^k? Or C^k=0 pour k>2 donc
B^n=2^n*I+n*2^(n-1)C+(n(n-1)/2)*2^(n-2)*(2D)=n*2^n*B-(n-1)2^n*I+n(n-1)2^(n-2)D

Merci a vous 2 pac et piepalm!
vos explications m'ont vraiment aidées, j'ai enfin compris comment résoudre ce genre d'exercice!
mais il faut que je vois plus facilement les choses parce que j'avais calculé C^2 mais je n'avais même pas remarqué que cela était égal à 2D.
Mais quand il faut calculer la puissance d'une matrice et que l'on se sert de la matrice unité je trouve que c'est une chose assez simple à réaliser quand on le sait!
mais comment on trouve les matrices qui font la décomposition de B par exemple?parce que la ça me semble beaucoup moins evident!
j'ai aussi du  mal à calculer les sigmas alors si vous pouviez m'aider un peu à ce sujet se serait vraiment très gentil!
pour te répondre pac, je suis en prépa BCPST.
merci
j'attend vos réponses

Pour calculer les puissances de matrices, soit tu essayes de trouver une récurrence évidente, soit tu décomposes en sommes de matrices nilpotentes et diagonales, soit tu utiliseras une méthode dont tu te seras familiarisé dans une question précédente de ton exo (y en a peut-être d'autres)

Comment ca les sigmas. Donne nouus un exemple.

Pac

merci
ben pour les sigmas c l'histoire des sommes des k parmis n termes quand on calcule A^n
parce que moi j'ai du mal à comprendre par exemple comment:


somme -1^n C(n,k)3^k*M/3
   =(2^n/3)*M

Merci de m'éclairer si tu as compris ma question

Il y a une faute de frappe dans mon texte lire(-1)^k au lieu de (-1)^n ; par ailleurs,
somme -1^k C(n,k)3^k=(3-1)^n=2^n