si tu cherches l'argument(arg) de 2 + i et son module(R).
Et tu ecris ce complexe sous la forme:
R*exp(i*arg)

et cos(x)= ( exp(ix) + exp(-ix) )/2

conjugué(z)^7= conjugué(z^7) et Z+conjugué(Z)= 2*Re(Z)
donc z^7 + conjugué(z)^7= 2*Re(z^7)
essaye ensuite la forme exponentielle.

je vois bien où tu veux en venir mais arg(z), dans ce cas là, n'est pas une valeur évidente

soit arg(z)=

on a cos()=2/(5) et sin ()=1/(5)

Sauf étourderie, pas évident alors de trouver ...
Par contre on sait aussi que z + = 2 Re(z)...

j'aurais tendance à vouloir utiliser la fonction arccos...
2*Re(z^7)= 2*Re((exp*ix)^7)
         = 2*Re(exp*7ix)
         = 2*Re(cos7x+isin7x)  
         =2*cos7x
et ton x= arccos(2/V5)
si c'est pas ça moi non plus je vois pas
bonne chance

|2+i| = V5 avec V pour racine carrée.
posons 2 + i = V5.e^(ix)

(2+i)^7 = (V5)^7.e^(i.7x)

2 - i = V5.e^(-ix)
(2-i)^7 = (V5)^7.e^(i.(-7x))


(2+i)^7 + (2-i)^7 = (V5)^7.e^(i.7x) +  (V5)^7.e^(i.(-7x))
(2+i)^7 + (2-i)^7 = (V5)^7.(e^(i.7x) +e^(i.(-7x))
(2+i)^7 + (2-i)^7 = 2.(V5)^7.cos(7x)   (1)

Or de 2 + i = V5.e^(ix)
2 + i = V5(2/V5  + i/V5)
2 + i = V5(cos(x) + i.sin(x))
-> cos(x) = 2/V5 et sin(x) = 1/V5

cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x) = 32/(5V5) - 6/V5 = 2/(5V5)

cos(6x) = 2cos²(3x) - 1
cos(6x) = (8/125) - 1 = -117/125

sin(3x) = 3sin(x)-4sin³(x) = 3/V5 -4/(5V5) = 11/(5V5)
sin(6x) = 2.sin(3x).cos(3x) = 2.11/(5V5) .2/(5V5) = 44/125

cos(7x) = cos(6x+x) = cos(6x)cos(x)-sin(6x)sin(x)
cos(7x) = -(117/125).(2/V5) - (44/125)/V5
cos(7x) = -278/(125.V5)
-----
(1) ->

(2+i)^7 + (2-i)^7 = 2.(V5)^7.(-278/(125.V5))
(2+i)^7 + (2-i)^7 = -(556/125).(V5)^6
(2+i)^7 + (2-i)^7 = -(556/125).125
(2+i)^7 + (2-i)^7 = -556
-----
Sauf distraction.  

bien vu JP
Merci, je n'aurais jamais eu le courage de chercher cos(7x) de cette manière là.
Je me demande si c'est très rigoureux.

Il n'y a rien de plus rigoureux.

alors merci J-P !
avec cette méthode, j'ai une nouvelle corde à mon arc...
à la prochaine...

Pourquoi pas developper la partie reelle:
Z=(2+i)^7

S=Z+/Z
S=2*Reel(Z)
S=2*(2^7-C(2;7)*2^5+C(4;7)*2^3-C(6;7)*2)
S=2*(2^7-21*2^5+35*2^3-7*2)
S=-556