J'ai un petit problème de maths à soumettre.... J'aurai surtout besoin d'aide pr les questions 2 partie 1, 1 5b 6 partie 2 et 3 4 5 6 partie 3. Merci d'avance de me répondre bonne soirée

Partie 1.Deux inégalités

1) Montrer que pour tout réel x:valeur absolue de sin x inférieure ou égale à valeur absolue de x.
2) En déduire que: V(x,y) appartenant à R² |e^(ix)-e^(iy) | inférieur ou égal à de |x-y|.

Partie II. Des puissances qui ne se répètent pas

Dans cette partie on considère un réel B tel que le nombre a =B/2π ne soit pas un nombre rationnel. Par exemple
Pour tout réel x, nous noterons [x]  la partie entière de x, c'est à dire le plus grand entier relatif k tel que
k inférieur ou égal à x, c'est le seul entier n relatif qui vérifie n <(ou égal) x < n + 1.
Par exemple.. l-2,6J = -3.
1 Pour tout entier naturel k, on pose Uk = ka - [ ka ] .
1) . Montrer que les puissances e^(inB) où n est un entier relatif sont distinctes deux à deux.
2) Vérifier que, pour tout k appartenant à N, Uk E [0,1[.
3) Montrer que Uk est non nul dès que k E N*.
4) Montrer que Uk \Uk' dès que k et k' sont deux entiers naturels distincts.
5) Dans cette question on se donne un entier naturel p strictement positif. Et on considère les intervalles
Ki=[i/t, i+1/t] pour i=0, 1,……….t-1
a) Déterminer exactement U Ki pr i variant de 0 à t-1 compris
b) Montrer qu'il existe forcément deux entiers k et k' distincts tels que Uk et Uk' appartiennent à un même
intervalle Ki,
On pourra faire l'analogie avec la situation suivante: On dispose de 100 chaussettes et on les range dans
99 tiroirs. Est-il possible que chaque tiroir contienne au plus 1 chaussette?

c) En déduire qu'il existe deux entiers relatifs pet q tels que 0 < |pa - q| <(ou égal) 1/t

d) Les entiers p et q ayant le sens et les proprietés définies dans la sous-question précédente, on pose:

U = pa - q si pa - q > 0 et U = q - pa si pa - q < 0.

. Vérifier que 0 < U <(ou égal) 1/t
. Soit 'P un nombre réel, on pose r =[P/2πu] (partie entière)

Montrer que 0 < (r + l)u - P/2πu < 1/t

En déduire qu'il existe deux entiers relatifs n et m tels que: 0 < 2πna - 2πm - P<  2π/t .

6) Déduire des questions précédentes que:
qqsoit z appartenant à U, qqsoit y appartenant à R+* il existen appartenant à Z ,| e^(inB) - z| < y.
Quel renseignement « géographique» peut-on en déduire quant à la disposition des puissances e^(inB) lorsque
n décrit Z? Est-ce que tout nombre complexe de module 1 est une puissance de e^(iB)?

Partie III. Une première rencontre avec les fonctions polynomiales de Tchebichev

Dans toute cette partie Z désignera le nombre complexe 3/5 + i4/5. et B son plus petit argument positif.
On admettra que 5 ne peut diviser un entier de la forme n = 2^s3^t où s et t sont deux entiers naturels.

1) Déterminer une expression de B.
2) Soit a un nombre réel.
a) Exprimer cos(2a) et cos(3a) à l'aide de cosa.
b) Soit n un entier relatif, mettre sous la forme d'un produit: cos((n + l)a) + cos((n - l)a).
3) En déduire que pour tout entier n il existe une fonction polynomiale Tn tel que:
qqsoit a appartenant à R, Tn(cosa) = cos(na)
On précisera le terme de plus haut degré de Tn.
4) On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls tels que B = 2pπ/q
En considérant Tq (cos B), montrer que cette hypothèse est une erreur.
5) Est-ce qu'il existe un entier n non nul tel que Z soit une racine n-ième de 1.
6) Que peut-on dire des puissances Z^n où n E Z.?