Bonjour,

Je pense que cela dépend fortement de la manière dont Q et R sont définis.
Par exemple, après avoir défini les entiers naturels (par la théorie des ensemble si mes souvenirs sont bons: 0 = l'ensemble vide, 1 = l'ensemble qui contient l'ensemble vide, etc...) on peut définir les entiers (en "ajoutant" le -) puis les rationnels (p/q, p,q entiers). Ensuite, on peut définir R comme l'ensemble des classes d'équivalence de limites des suites de Cauchy dans Q, la densité en découle alors relativement facilement.

Après quand on regarde l'article wikipédia sur les nombres réels, on s'aperçoit vite que c'est de très loin pas l'unique manière de voire les choses.

Bonsoir,

je vais te donner ici une démonstration, je ne sais pas si c'est celle que tu as vu en cours, mais c'est la plus intuitive.
Supposons que x=1/3=0,3333... (avec une infinité de 3) et y=0,334333333... (on peut également écrire y=1/3+1/1000)
on voit que la différence se situe au niveau du troisième nombre après la virgule, on peut prendre z=0,3335 par exemple et on a bien xzy et z, ce qui est exactement ce que l'on veut!

Revenons désormais au cas général: Soit x et y deux réels tels que x<y et posons e=y-x
On va poser où E(z) est la partie entière de z.
Il est facile de vérifier que n, y_ny. De plus y_ny quand n+ (il faut voir y_n comme y tronqué à la au n-ième nombre après la virgule, par exemple si y=3,187, y₂=3,18)
En effet:
et on utilise le théorème des gendarmes.

On en déduit que il existe N tel que |y_N-y|e, donc xy_Ny. Or y_N, donc on a gagné!