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Niveau Maths sup
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Q est dense dans R

Posté par
lrs2020
23-05-20 à 15:42

Bonjour, je ne comprends pas une démonstration qui dit que Q est dense dans R. La démonstration est faite dans le cadre de la construction des nombres réels c'est pourquoi on utilise des classes d'équivalence et des suite de Cauchy.

Cela dit: Q est dense dans R. Définition:

\forall a \in \mathbb{R} \quad \forall K \in \mathbb{N} \quad \exists x \in \mathbb{Q} \quad |a-x| < 1/K

La preuve:
Nous savons déjà que toute suite de Cauchy de rationnels converge dans R vers sa classe d'équivalence. Et soit sa classe d'équivalence = a:
Alors: |a-x_n| < 1/K \quad \text{pour presque tout} \quad n \in \mathbb{N}_0

Premièrement que signifie ce N_0 et pourquoi presque tous ? Je comprends pas ce presque.

Je n'ai pas pu mettre la démonstration en lien car elle est en allemand et je l'ai traduite littéralement.

Je vous remercie pour votre aide.

Posté par
Mateo_13
re : Q est dense dans R 23-05-20 à 15:55

Bonjour,

"Presque tout entier n"
signifie : "Tous les entiers n, sauf un nombre fini"
ou bien : "Tous les entiers n, à partir d'un rang N suffisamment grand".

Je pense que les ensembles d'entiers N et N_0 sont la même chose.

Dans la définition, il faut comprendre que x dépend de K.
Plus K est grand, plus x doit se trouver proche de a.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
lrs2020
re : Q est dense dans R 23-05-20 à 16:10

Oh beaucoup de choses s'éclaircissent maintenant!

Merci beaucoup pour votre aide!

Salutations

Lrs



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