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Q n'est pas localement compact

Posté par
vastemath 02-05-21 à 13:40

Bonjour

s'il vous plait comment  montrer que Q n'est pas localement compact ?

Si je suppose qu'il est localement compact alors par exemple 0 admet un voisinage compact V dans Q, et on a ]-\varepsilon,\varepsilon[\cap Q\subset V

Posté par
vastemathre : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 13:45

comment continuer s'il vous plait ?

Merci

Posté par
Aalex00re : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 14:30

Bonjour, en tant que sous espace de \mathbb{R}, \mathbb{Q} n'est pas localement compact car une suite bornée de rationnels n'a pas toujours de valeur d'adhérence rationnelle.
Dans ton cas il s'agit de construire une suite de ton voisinage qui convient (une suite qui converge dans \mathbb{R} vers un irrationnel). Je te laisse la construire.

Posté par
vastemathre : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 17:44

Je ne sais pas comment la construire vous ne pouvez pas me donner une idée ?

Posté par
Aalex00re : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 17:56

On se donne \alpha un irrationnel dans ton compact, disons qu'on le prend dans ]-\epsilon/2,\epsilon/2[ pour être sûr que la suite qu'on va construire reste dans ton compact. Maintenant, en utilisant la partie entière, ne vois-tu pas une suite appartenant à ton voisinage et convergente vers \alpha ?

Posté par
vastemathre : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 18:43

par exemple x_n=\frac{E(2^n \alpha)}{2^n}

Posté par
Aalex00re : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 19:13

Je pensais à x_n=\frac{10^n\alpha}{10^n}mais ce que tu dis fonctionne bien. (C'est peut être mon \epsilon/2 qui ta influencé. En fait c'était pour ne pas avoir de problèmes du coté négatif.. puisque sinon \alpha pourrait être arbitrairement proche de -\epsilon) Par contre il faut considérer cette suite à partir d'un certain rang tel que la suite soit dans ton voisinage.

Posté par
Aalex00re : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 19:27

Oups je relis mon message et j'ai oublié le partie entière au début.
Sinon, pour le \epsilon/2 on peut s'en passer en considérant un petit voisinage de \alpha inclu dans V. Dans tout les cas il y a un truc à dire.

Posté par
vastemathre : Q n'est pas localement compact 02-05-21 à 22:51

Je n'ai pas su rédiger la preuve.

Supposons que 0 possède un voisinage compact V,  donc

\forall \varepsilon>0 ]-\varepsilon,+\varepsilon[\cap Q\subset V

Soit \alpha \in ]-\varepsilon,\varepsilon[ avec \alpha\notin Q, il existe une suite

x_n=\frac{E(2^n\alpha)}{2^n}\in ]-\varepsilon,\varepsilon[\cap Q

mais (x_n) converge vers \alpha\notin Q donc elle n'admet pas une sous suite convergente dans V ce qui contredit la compacité de V.

c'est ca ?

Mais comment être sure que x_n=\frac{E(2^n\alpha)}{2^n}\in ]-\varepsilon,\varepsilon[\cap Q ?

Merci

Posté par
Aalex00re : Q n'est pas localement compact 03-05-21 à 09:02

Bonjour vastemath,

vastemath

\forall \varepsilon>0 ]-\varepsilon,+\varepsilon[\cap Q\subset V
Attention aux quantificateurs : c'est plutôt il existe \epsilon>0 tel que...

vastemath

il existe une suite
x_n=\frac{E(2^n\alpha)}{2^n}\in ]-\varepsilon,\varepsilon[\cap Q

[...]

Mais comment être sure que x_n=\frac{E(2^n\alpha)}{2^n}\in ]-\varepsilon,\varepsilon[\cap Q ?
Par définition de la partie entière ta suite (x_n)_{n\geq 0} converge vers \alpha. Et tu sais, comme ]-\epsilon, \epsilon[ est ouvert, qu'il  existe un voisinage V_\alpha de \alpha inclus dans ]-\epsilon, \epsilon[. Donc par définition d'une suite convergente, il existe un rang n_0 tel que (x_n)_{n\geq n_0}\subset V_\alpha \subset ]-\epsilon, \epsilon [.

vastemath

mais (x_n) converge vers \alpha\notin Q donc elle n'admet pas une sous suite convergente dans V ce qui contredit la compacité de V.
Est-ce que tu comprends comment est-ce que cela contredit la compacité de V ?

Posté par
vastemathre : Q n'est pas localement compact 04-05-21 à 14:21

Oui dans un compact toute suite admet  une sous suite convergente

Merci


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