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QCM sur les complexes

Posté par Ordinary (invité) 28-11-05 à 09:34

Bonjour à tous,


J'ai un QCM sur les complexes à faire en devoir de maison, où j'ai quelques difficultées..
Je ne sais pas comment m'y prendre pour certaines questions, et pour d'autres, ce que je trouve n'a rien à voir avec les solutions

J'ai cherché dans un forum, j'ai trouvé un topic avec le même QCM, mais la réponse proposée ne m'éclaire pas trop...
Je mets les questions, avec pour chacune ce que j'ai trouvé et ce que je n'arrive pas. Merci d'avance.


1/ Soit z \in \mathbb{C} vérifiant \bar{z} + |z| = 6 + 2i. L'écriture algébrique de z est :

a) \frac{8}{3} - 2i     b) -\frac{8}{3} - 2i     c)\frac{8}{3} + 2i     d)-\frac{8}{3} + 2i

--> Quand je remplace z par x + iy, je trouve :
(x-iy) + (x+iy) = 6 + 2i
2x = 6 + 2i



2/ Dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z = x + iy vérifiant |z - 1| = |z + i| est la droite d'équation :

a) y = x - 1   b) y = -x   c) y = -x + 1   d) y = x

--> Je remplace encore z par x + iy, et je trouve :
x + iy -1 = x + iy + i
-1 = i



3/ Soit n un entier naturel. Le nombre (\1 + i sqrt{3})^n est réel si et seulement si, n s'écrit sous la forme :

a) 3k + 1   b) 3k + 2   c) 3k   d) 6k

--> Je ne vois pas comment faire..


4/ Soit l'équation (E) : z = \frac{6 - z}{3 - z} . Une solution de (E) est :

a) -2 - \sqrt{2i}   b) -2 + \sqrt{2i}   c)1 - i   d)-1 - i

--> Je fais :
z(3 - z) = 6 - z
z^2 - 3z = 6 - z
z^2 - 2z - 6 = 0
\Delta = 28

z1 = \frac{2 - i \sqrt{28}}{2} = \frac{2 - 2i \sqrt{7}}{2} = 1 - i \sqrt{7}
z2 = \frac{2 + i \sqrt{28}}{2} = \frac{2 + 2i \sqrt{7}}{2} = 1 + i \sqrt{7}

--> Et ça ne correspond à aucun des résultats proposés



5/ Soit deux points A et B d'affixes respectives zA = i et zB = \sqrt{3}.
L'affixe du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral, avec (\vec{AB};\vec{AC}) = \frac{pi}{3} est :

a) -i   b) 2i   c) \sqrt{3} + i   d)\sqrt{3} + 2i

--> Je ne sais pas comment m'y prendre..



6/ Dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z = x + iy vérifiant arg \frac{z + 2}{z - 2i} = \frac{pi}{2} est inclus dans :

a) La droite d'équation y = -x
b) Le cercle de centre I(1 + i) et le rayon R = \sqrt{2}
c) La droite d'équation y = x
d) Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'abscisses respectives zA = -2 et zB = 2i

--> Comme pour le 5, je ne sais pas comment faire.



Voilà, j'ai vraiment des difficultés avec les complexes, et même un QCM censé être assez simple me pose des problèmes, c'est pourquoi je demande votre aide.

Merci d'avance!

Ordinary

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:37

Oups, je voulais dire que j'avais cherché dans ce forum-ci

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:46

1/

x-iy+V(x²+y²) = 6+2i

x+V(x²+y²)-iy = 6+2i

Par identification des 2 membres -->

x+V(x²+y²)=6
y = -2

x+V(x²+4)=6
V(x²+4) = 6-x
x²+4=36-12x+x²
12x=32
x = 32/12 = 8/3

--> z = (8/3) - 2i
-----
Sauf distraction.  

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:47

bonjour

pour le 1, tu as remplacé |z| par z au lieu de V(x²+y²)

reprends...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:49

pour le 2, l'ensemble des points z est celui de la médiatrice de A(1,0) et B(0,-1)
c'est donc la seconde bissectrice : y=-x

Vérifie...

Philoux

Revois ton cours pour savoir ce qu'est un module...

Posté par
ciocciure : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:50

salut
si z=x+iy veux tu bien me rappeler ce que vaut |z| ?
2) idem que vaut |z-1| on parle bien du moduloe de z-1 pas de z-1 tout court....

3)écris 1+i \sqrt{3} sous forme exponentielle avec module et argument r.ei.teta et ensuite quand tu élèves à la puissance n c'est plus simple



4)et non!! z(3-z) n'est pas égal à z²-3z attention aux étourderies ça coute cher

5) pour les ,qcm il faut être efficace ....c'est à dire que comme tu n'as pas à justifier comment tu trouves la solution tu peux très bien faire un dessin , placer A et B et regarder quelle doit être la bonne solution pour C


6)si zA=-2 et zB=2i que vaut arg (z+2)/(z-2i) cf cours et c'est un angle de vecteur que je voudrais
et donc tu en déduis où se situe M


deuxième méthode pour celui là
arg (z+2)/(z-2i)=pi/2 signifie que le complexe Z=(z+2)/(z-2i) est un imaginaire pur car arg Z=pi/2
donc tu remplaces z par x+iy et tu calcules Z sous la forme Z=A+iB avec  A et B fct de x et y
et enfin tu dis Z est imag pur donc A=0 et tu en déduis l'équation de  ton ensemble
voilà
bye

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:52

2)
|z-1|=|z+i|

|x-1 + iy| = |x + i(y+1)|
|x-1 + iy|² = |x + i(y+1)|²

(x-1)²+y² = x²+(y+1)²
x²-2x+1+y² = x²+y²+2y+1
-2x = +2y
-x = y
y = -x
-----
Sauf distraction.  

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:55

3) écris sous forme module argument, en constatant que

1+iV3 = 2( 1/2 +i(V3)/2 ) = 2exp(ipi/3)

élève puissance n => De Moivre

(2^n)exp(inpi/3)

réel si sin(npi/3)=0 => npi/3 = kpi

n = 3k

Vérifie....

Philoux

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:58

Ah d'accord! J'ai pas du tout fait le rapport avec le module, j'ai pensé à la valeur absolue de z


J'étais entrain de réfléchir au i/, avec la solution de J-P, mais je ne comprends pas le passage de :

V(x²+4) = 6-x
à
x²+4=36-12x+x²


Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : QCM sur les complexes 28-11-05 à 09:58

3)

1+iV3 = 2.((1/2)+i.(V3)/2) = 2.e^(i.(Pi/3 + 2kPi))

(1+iV3)^n =   2.e^(i.n(Pi/3 + 2kPi))

(1+iV3)^n =   2.cos(n.Pi/3 + 2k'Pi) + 2i.sin(n.Pi/3 + 2k'Pi)

réel si sin(n.Pi/3 + 2k'Pi) = 0 --> si sin(n.Pi/3) = 0

soit pour n.Pi/3 = k.Pi

n = 3k
-----
Sauf distraction.  

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:00

z=(6-z)/(3-z) => z diff de 3

3z-z²=6-z => z²-4z+6=0 => z²-4z+4+2=0 => (z-2)²-(iV2)²=0 => (z-2+iV2)(-2-iV2)=0

z=2+/-iV2

Vérifie...

Philoux

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:00

Pour ta sous question du 28/11/2005 à 09:58

Passage d'une ligne à l'autre par élévation au carré des 2 membres.
(V est mis pour racine carrée).


Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:01

Oui, le module je le connais, pas de soucis, mais j'ai pas fait le rapprochement entre les 2..

(Je suis entrain de refaire les 1, 2 et 3 pour comprendre la solution)


Merci pour votre aide

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:02

En réponse à JP : c'est le -12x qui m'embête, je ne vois pas d'où il vient?

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:05

module AB=2 (V(1²+(V3)²)

il faut mod(AC)=2

xc²+(yc-1)²=4

seul V3+2i convient...

Vérifie

Philoux

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:10

Je suis re-là, avec une nouvelle question (encore!)

Les 1 et 2 ça y est, j'ai réussi à les refaire.
Pour le 4 j'ai compris mon erreur, je refais le calcul.

Pour le 3, il n'y a pas de moyens pour le faire sans exponentielle? Car je n'ai pas encore vu cette fonction, ni la formule de Moivre




Merci à vous

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:13

4)

z = (6-z)/(3-z)

3z-z²=6-z
z²-4z+6 = 0

z = 2 +/- V(4-6)
z = 2 +/- V2 i

Les solutions sont:
z1 = 2 - V2 i
et
z2 = 2 + V2 i
-----
Sauf distraction.  

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:13

l'autre méthode est d'essayer les solutions qu'on te donne et retenir la bonne

les 2 premières avec k=0 => impossible

pour les 2 autres, essaies avec k=1 pour vérifier 3k convient

Philoux

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : QCM sur les complexes 28-11-05 à 10:17

3) sans exponentielle (il manquait des ^n dans ma réponse précédente sur ce problème).

1+iV3 = 2.((1/2)+i.(V3)/2) = 2.[cos(Pi/3 + 2k.Pi) + i.sin(Pi/3 + 2k.Pi )]

De Moivre -->

(1+iV3)^n = 2^n.(cos(n.Pi/3 + 2k'Pi) + .i.sin(n.Pi/3 + 2k'Pi))


réel si sin(n.Pi/3 + 2k'Pi) = 0 --> si sin(n.Pi/3) = 0

soit pour n.Pi/3 = k.Pi

n = 3k
-----
Sauf distraction.  

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 12:07

J'ai eu un petit problème de connexion, désolée.


Pour le 3, j'ai un peu de mal à le comprendre, mais en le refaisant plusieurs fois ça ira mieux je pense.

Sinon pour les autres c'est ok.

Je réessayes aussi le 5 et le 6.



Je vous tiens au courant!

Merci

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 15:39

Re,


Après quelques essais, j'ai trouvé la 5, en comparant AB et AC, en essayant chaque zC proposée (Merci Philoux )

Le 6, je ne vois tjs pas comment le faire, et le 3 j'ai du mal encore, même en essayant de remplacer par chaque solution proposée.


Juste un p'tit truc encore, dans la question 1 :
Comment trouve-t-on, dans la solution de J-P

x-iy+V(x²+y²) = 6+2i

x+V(x²+y²)-iy = 6+2i

Par identification des 2 membres -->

x+V(x²+y²)=6
y = -2

x+V(x²+4)=6
V(x²+4) = 6-x
x²+4=36-12x+x² ?
12x=32
x = 32/12 = 8/3

--> z = (8/3) - 2i

On élève au carré chaque membre, mais j'ai beau cherché, je ne vois pas d'où viens le -12x ?


Merci encore une fois

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 15:44

(6-x)²

forme (a-b)²=a²-2ab+b²

le -12x vient de -2ab

philoux

Posté par philoux (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 15:50

sinon, pour le 1), tu vois que les 4 solutions proposées ont un module égale à :

racine(  (8/3)²+2²)=racine( (64+36)/3² ) = racine(100/9) = 10/3

z*+10/3 = 6+2i => z*=6-10/3 +2i = 8/3 +2i

si z*=8/3+2i => z=8/3 - 2i

Philoux

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 15:50

Ah d'accord!
Je croyais que l'on mettais au carré chaque terme, et non l'expression entière, merci pour l'explication!

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 15:53

Oki, pour 1/ ça allait, j'avais reussi à le refaire avec la méthode de J-P, c'était juste le -12x qui m'embettait car je ne savais pas d'où il venait. Maintenant c'est bon

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 19:03

Petit up, juste pour la question 6

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : QCM sur les complexes 28-11-05 à 19:45

6)

z = x+iy

(z+2)/(z-2i) = (x+2+iy)/(x+i(y-2))
(z+2)/(z-2i) = (x+2+iy)(x-i(y-2))/[(x+i(y-2)).(x-i(y-2))]
(z+2)/(z-2i) = [x(x+2)+y(y-2)+i(xy-(x+2)(y-2))]/(x²+(y-2)²)
(z+2)/(z-2i) = [x(x+2)+y(y-2)+i(xy-(xy-2x+2y-4)]/(x²+(y-2)²)
(z+2)/(z-2i) = [x(x+2)+y(y-2)+i(2x-2y+4)]/(x²+(y-2)²)

arg[(z+2)/(z-2i)] = arg[x(x+2)+y(y-2)+i(2x-2y+4)]
arg[(z+2)/(z-2i)] = arctg((2x-2y+4)/(x(x+2)+y(y-2))] = Pi/2

((2x-2y+4)/(x(x+2)+y(y-2))] = tg(Pi/2) = oo
-->

(x(x+2)+y(y-2)) = 0

x² + 2x + y² - 2y = 0
(x+1)² -1 + (y - 1)² - 1 = 0
(x+1)² + (y - 1)² = 2

Soit le cercle de centre d'affixe -1 + i et de rayon = V2 mais à l'exception du point (0 ; 2)

Un peu différent de ce qui est proposé.
-----
Sauf distraction.  

Posté par Ordinary (invité)re : QCM sur les complexes 28-11-05 à 20:14

Merci pour l'explication,

Dans ce que j'avais fais, le début correspond, mais après je n'arrivai pas à faire le lien avec l'argument, ni à terminer avant de passer à l'argument.


Je vais essayer de refaire,


Merci bcp pour votre aide, et bonne soirée

Ordinary


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