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Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann ?

Posté par
luchar 31-03-08 à 22:13

Bonsoir à tous,
J'ai un souci avec les sommes de Riemann concernant les bornes qu'il faut mettre à l'intégrale de la fonction considérée lorsque l'on calcul la limite d'une somme de Riemann (ou de toute autre somme s'en approchant).
J'ai donc déniché un exemple :

Calculer la limite de la suite définie par son terme générale :
S = \Bigsum_{k=0}^{2n} \frac{k}{k^2+n^2}

En poursuivant, on obtient S = \frac{1}{n} \Bigsum_{k=0}^{2n}\frac{\frac{k}{n}}{(\frac{k}{n})^{2}+1}

Je pose donc f: x\frac{x}{x^2+1}, mais après j'ai quelques soucis pour poser les bornes de l'intégrale (de a à b) de f afin de calculer la limite de S.
Je croyais que pour déterminer la borne du haut (ie b), il fallait prendre k=2*n (ou k=n, valeur maximale prise par k) afin d'obtenir le plus haut terme de la somme, qui se simplifiant donnait b... or là ça ne marche pas (k=2*n donne b=2/5), car après vérification dans le corrigé il faut intégrer de 0 à 2...

Merci d'avance pour votre réponse. (en espérant avoir été assez clair).

Luchar.

Posté par
gui_toure : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:19

Salut

Pour 3$\rm n\in\mathbb{N}^*,\;\,S_n=\Bigsum_{k=0}^{2n}\fr{k}{k^2+n^2}=\fr1n\Bigsum_{k=0}^{2n}\fr{k.n}{k^2+n^2}=\fr1n\Bigsum_{k=0}^{2n}\fr{\fr{k}{n}}{(\fr{k}{n})^2+1}

Par définition, 3$\rm\lim_{n\to+\infty} S_n=\Bigint_0^1\fr{t}{1+t^2}dt=\fr{\ell n(2)}{2}

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:21

Salut

Gui_tou > Ici ça va plutot converger vers l'intégrale sur le segment [0,2] !

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:24

Merci pour ta réponse,

je n'avais pas vu le résultat que tu me donnes en cours, masis une définition plus générale :
\int_{[a,b]} f = \frac{b-a}{n}*\Bigsum_{k=1}^{n}f(a+(k*(b-a)/n))...
Le résultat que tu me donnes est il donc généralement tjrs applicable, où seulement dans des cas particuliers?
Et pourquoi donc le corrigé et ses bornes "de 0 à 2" ?
Merci pour ta réponse.

Posté par
gui_toure : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:25

Salut Jord

Oui oui tout à fait ! 3$\rm\lim_{n\to+\infty}%20S_n=\Bigint_0^2\fr{t}{1+t^2}dt=\fr{\ell%20n(5)}{2}

Je dirais qu'ici, il faut intégrer de 0 à 2, car 2 est le coeff du n : 3$\rm S_n=\Bigsum_{k=0}^{\fbox{2n} ...
Confirmation ?

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:32

En fait pour le voir il faut partager la somme en 2 : Une sur [|1,n-1|] et l'autre sur [|n,2n|]
La première est une somme de riemman, la deuxième en est une aussi par un petit changement variable.

La première va tendre vers l'intégrale sur [0,1] et la deuxième vers l'intégrale sur [1,2] et par Chasles...

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:40

donc ça me fait

S= \Bigsum_{k=0}^{n-1}(k/n)/((k/n)^2+1) + \Bigsum_{k=n}^{2*n}(k/n)/((k/n)^2+1)...
Le premier membre est une somme de Riemann, on intègre selon la définition donnée par guy_tou... par contre pour la deuxième, je ne vois pas vraiment quel changement de variable faire...
et puis toujours le même problème : je ne comprends pas pourquoi est ce que l'on intègre de 0 à 1 une fois, puis une autre fois de 1 à 2...

Désolé de vous assaillir de questions comme ça, mais j'aimerai vraiment comprendre de quoi il retourne et je n'ai pas bien compris les explications de mon prof à qui j'avais déjà posé la question...

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:44

Pour la deuxième pose i=k-n et regarde ce qu'il se passe.

En ce qui concerne les bornes de l'intégrale je peux te sortir la formule brute 3$\rm \frac{b-a}{n} \Bigsum_{k=1}^{n} f\(a+\frac{k(b-a)}{n}\)\longrightarrow_{n\to +\infty} \Bigint_{a}^{b} f mais bon, ça ne t'aide pas vraiment à comprendre.

L'idée est de voir ce qu'est une somme de Riemann, alors je te pose la question, qu'est-ce qu'une somme de Riemann et pourquoi intuitivement converge-t-elle vers une intégrale?

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:47

Une somme de Riemann, c'est la somme des aires des rectangles pris au dessus ou au dessous de la courbe de la fonction considérée, ce qui permet d'approximer l'aire délimitée par la courbe et l'axe (Ox) du repère entre deux points d'abscisses respectives a et b, ie l'intégrale entre ces deux points de la courbe, ie intégrale de a à b.

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:48

Voila c'est ça.

Et comment interprète tu mas formules donnée juste au dessus au final?

Qu'est-ce que le (b-a)/n ? Qu'est-ce que ce f(a+k(b-a)/n) ?

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:52

Si j'ai bien compris, n est le nombre de subdivisions (ie de rectangles). Donc (b-a)/n est la largeur sur l'axe Ox  des rectangles en question.

f(a+k(b-a)/n) est donc l'image par f de l'abscisse du "point de départ" de l'intégrale (soit a) + la somme de k fois la largeur des rectangles k*(b-a)/n...

(je m'exprime mal...)

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:55

Hum je crois qu'en gros c'est ça.

En fait ici on a des subdivisions régulière.
le f(a+k(b-a)/n) va être en fait la hauteur de chaque rectangle de la subdivision.

Au final base * hauteur avec une infinité de rectangle, on tombe bien sur l'aire sur [a,b] (puisque c'est le segment qu'on a uniformément subdivisé au départ)

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 22:57

Jusqu'ici je suis d'accord avec toi.
Mais donc pour arriver à, disons, "visualiser" le a et le b dans les sommes comme celle que j'ai citée plus haut ?

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:00

Bah dans la somme en elle même ici c'est pas direct, c'est pour ça que je l'ai décomposée en deux sommes.

Après ces deux sommes, la première il est clair qu'on a subdivisé le segment [0,1] (en prenant a=0 et b=1 on a bien la somme de Riemann de ma formule).
La deuxième ça semble un peu plus délicat parce que déjà nos rectangles commencent pas à l'origine. Mais qu'à cela ne tienne, on pose notre changement de variable i=k-n qui va nous faire partir de 0.
Par contre évidemment on va plus avoir la même fonction. Mais cela dit on s'en sort bien, parce qu'on se rend compte qu'au final, poser le changement de variable i=k-n dans la somme, ça va revenir à poser le changement de variation y=x+1 dans l'intégrale et la somme va tendre vers l'intégrale de 1 à 2 de notre fonction de départ.

bref tout ça c'est du blabla, écris le tu vas t'en rendre compte toi même!

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:05

donc le deuxième membre donne :

\Bigsum_{i=0}^{n} \frac{\frac{k-n}{n}}{(\frac{k-n}{n})^2+1}
donc tjrs avec x=k/n, on a f(x) = (x-1)/((x-1)^2+1)

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:07

Oui

Et donc c'est l'intégrale de ton f(x) sur [0,1] mais comme je l'ai dit en posant le changement de variable y=x+1 on revient à intégrer la même fonction que celle de la première somme, sur [1,2].
Au final notre somme de départ converge vers l'intégrale de cette fonction sur [0,2] !

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:09

et un dernier petit point (après promis c'est bon !) : pourquoi y=x+1 et par x-1 ? (ou alors c'est la fatigue et je commence à devenir gateux avant l'âge)

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:14

Ah non c'est juste que tu t'es planté dans ton changement d'indice i=k-n

La somme devient 3$\rm \Bigsum_{i=0}^{n} \frac{\frac{i+n}{n}}{\(\frac{i+n}{n}\)^{2}+1\)\ qui va converger vers 3$\rm \Bigint_{0}^{1} \frac{x+1}{(x+1)^{2}+1}. Et on pose bien y=x+1.

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:17

En effet (l'explication restera la fatigue ^^)
Merci énormément pour ta patience ! Mais bon c'est le genre de choses que j'avais pas envi de laisser passer sans comprendre...
Excellente (fin de) soirée et merci encore !


Luchar

Posté par
Nightmarere : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:19

Tu as raison de vouloir comprendre, les intégrales c'est important, mais tu l'auras remarqué, c'est un concept qui se "visualise" très bien!

Bon courage pour la suite en tout cas.

Bonne soirée à toi aussi.

Posté par
lucharre : Quelles bornes mettre à l'intégrale d'une somme de Riemann 31-03-08 à 23:20

Merci !


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