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quelques questions sur les complexes...
Bonjour, j'ai un exercice sur les complexes à faire, je l'ai
fait mais je ne suis du tout sur de mes réponses, donc si vous pouviez
m'aider...
Dans le plan analytique de Cauchy, on considère l'appliation F qui,
au point m d'affixe z différent de 0, associe le point M d'affixe
Z=f(z)=1/2(z+1/z)
On note A (respectivement B) le point d'affixe 1 (respectivement
-1)
a)Déterminer les points invariants par la transformation F
b)Montrer que si z est de module 1 alors Z est réel
c)Réciproquement, déterminer l'ensemble des z tels que Z est réel
d) Déterminer l'ensemble des z tls que Z est imaginaire pur
e) Déterminer l'ensemble des z tels que Z est de module 1
Pour les 2 premières questions, je suis pratiquement sur de mes réponses:
a)A et B
b)je l'ai montré donc ça doit est bon..
Pour les question suivantes, j'ai posé Z=X+iY
c)je trouve:z(1)=X-racine(X²-1) et z(2)=X+racine(X²-1)
d)z(1)=i[Y-racine(Y²+1)] et z(2)=i[Y+racine(Y²+1)]
e)z(1)=2cos(x)-racine(4cos²x-1) et z(2)=2cos(x)+racine(4cos²x-1)
Je vous remercie de votre aide
a) tu resout z=f(z)
ca fait z=1/2 (z+1/z)
2z=z+1/z
z=1/z
z^2=1
soit z=1 ou -1 donc bien les affixes de A et B
b) je te l'ai deja donné.
c) je crois que ta solution est fausse ca n'a rien avoir avec z(1)
et z(2) il faut chercher des antécedents:
tu pose z=x+iy
alors Z=1/2 (x+iy+ 1/(x+iy))
Z=1/2 (x+iy + (x-iy)/(x2+y2))
qu'on ecrit
Z=(1/2)(x+x/(x2+y2)) + i(1/2)( y - y/(x2+y2))
Z est réel si Im(Z)=0
ce qui fait
y-y/(x2+y2)=0
y =0 convient donc tous les z réels sont tels que Z est réel.
Si y différent de 0
ca te fait 1-1/(x2+y2)=0
soit x2+y2=1
et ca c'est l'ensemble des point sur le cercle de rayon 1.
d) c'est pareil sauf que cherche Re(Z)=0
ca donne
x+x/(x2+y2)=0
x=0 convient donc les imaginaires ont une image Z qui est imaginaire
pure
si x est différent de 0 ca donne
1+1/(x2+y2)=0
ce qui est impossible donc c'est las seuls solutions.
e)pour avoir Z de module 1 il faut |Z|=1soit
|Z|^2=1 soit Z*Z bar=1
tu calcule et tu as ta soluce
A+
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