Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Quelques questions sur mes révisions
Bonsoir tout le monde,malgré le rugby,je tente de réviser l'algebre et j'aimerais quelques démos si vous les connaissez...
1)A possede un seul idéal maximal<=>A-A*(l'ensemble des non inversibles de A) est un idéal distinct de A
2)A un corps <=> {0} seul idéal maximal de A
3)a appartient à A*(ensembles de einversibles de A)<=> a n'appartient à auncun idéal maximal de A
4)A principal=> A noetherien
Merci d'avance de votre aide!
Salut robby,
C'est dingue, les programmes changent du tout au tout suivant les facs !!
J'ai jamais vu ces notions moi !
Voilà c'était pour dire rien du tout 
bon courage
Bonjour,
4 est trivial et 2 est faux... (penser à Mn(R) par exemple)
As-tu des hypothèses sur A ?
Par exemple A est commutatif ?
Si un élément est inversible, alors on peut facilement construire 1 avec les éléments de l'idéal et donc 1 est dans l'idéal et donc ....
Bonsoir Otto!
oui A est commutatif.
ah oui ok pour 4)
Si un élément est inversible, alors on peut facilement construire 1 avec les éléments de l'idéal et donc 1 est dans l'idéal et donc ....
>>c'est pour répondre à 3??
parce que 1 est dans l'idéal donc quoi?
Pour 4, un anneau est noethérien si ...
Si 1 est dans l'idéal, ton idéal est ton anneau au complet.
Ca vaut pour 2 et 3.
ok pour 4) A noetherien donc tout idéal est de type fini.
(la réciproque est fausse,A ne sera pas principal contre exemple avec Z[X] )
si 1 est dans l'idéal,l'idéal c'est A et a n'appartient à aucun idéal maximal de A?
pour 2) c'est faux??
Bein un idéal maximal est par définition distinct de A tout entier. Si tu as 1 dans ton idéal, c'est clair que ton idéal est en fait A et donc qu'il ne peut être maximal.
2 est faux dans le cas non commutatif, mais maintenant que tu as précisé que tu avais un anneau commutatif, j'imagine que si on te demande de le prouver, c'est que c'est vrai 
A/M est un corps dès que M est un idéal maximal de A et que A est commutatif.
a+
ok!
mais en fait pour 2) je ne parviens pas à montrer l'une ou l'autre des implications,alors que je suis sur que c'est pas trés dur...ça me gene c'est tout
Si A est un corps, alors tout élément de A est inversible (sauf 0), donc aucun n'élément ne peut appartenir à un idéal sauf 0 d'après ce que je viens de te dire.
Pour la réciproque, A/M est un corps quand A est commutatif et M maximal.
(Salut FusionFroide! c'est sur que ça change,quand je vois les questions d'algebre que tu poses et que je vois ton niveau en théorie de l'intégration par rapport à moi,y'a pas de doute on apas eu le meme programme )
euhh toujours dans le cadre de mes révisions,je voudrais savoir si vous avez des exemples d'utilisation de la proposition de Krull et de cete propriété:
Soit A un anneau commutatif,S une partie multiplicative de A.
i:A->A/S MA canonique.
Alors r->i-1(r) est une bijection de l'ensemble des idéaux de A/S sur ceux de A qui ne rencontrent pas S.
Merci d'avance.
Re,
une autre question:
Comment montrer que A[X] est isomorphe à A ou a est un anneau commutatif unitaire?
Merci d'avance de vos réponses.
je repasserais ce soir pour consulter d'éventuelles proposition à ce sujet.
Merci
Donc bien évidemment c'est faux...
autre question:
"Un corps commutatif est un anneau principal"
>corps commutatif:anneau integre fini commutatif.
>anneau principal:tout idéal est engendré par un élément.
coment faire le lien entre le deux??
Autre chose,pourquoi dans un anneau principal,tout idéal premeir est maximal sauf {0}.??
Merci d'avance de vos réponses.
pour la premiere question:
Si A est un corps comutatif,ces seuls idéaux sont {0} et A donc ils sont évidemment principaux d'ou a principal??
Merci d'avance de votre aide sur mes autres questions...
j'ai une autre question peut-etre bete mais pourquoi si 1 est dans un idéal I de A(un anneau commutatif) alors I=A...?
Bon!
Petit récapitulatif de mes questions:
(si c'est faux vous pouvez me dire pourquoi!
Merci d'avance de vos réponses!
J'ai trouvé pour la 2)!!
Soit I un idéal premier de a.
il existe x dans A tq I=x.A
Soit J un idéal tq I inclus dans J. il existe donc y tel que J=y.A donc y/x or x est premier donc irréductible d'ou y=x ou y inversible donc J=I ou J=A d'ou I maximal.
Ps:H t'as vu les exos sur Ulysse!!Ils sont bien tordus!!
je vous laisse je vais pieuter!
Bonne nuit!
parce que J inclus dans I donc x.A inclus dans y.A donc y/x!
Sauf erreur.
pour 1)
I un idéal de A donc I est un sous-groupe additif de A et stable par multiplication.
come 1 est dans A,on a tout les inverses dans I aussi...donc on a tout les éléments de A d'ou I=A.
Est-ce correct?
pour 3) je sais juste que si A est un anneau commutatif alors l'ensemble des non-inversibles de A est la réunino des idéaux maximaux de A.
Merci d'avance de votre aide.
Pour la 1) c'est âs tout à fait ça...
Pour la 2) je dois avouer que j'ai pas trop compris ta démo, notammentle donc y/x, donc y/x quoi? x n'est pas nécéssairement inversible...mais ca m'a l'air de bonnes idées...essaie plutot de rajouter un élément dans un idéal premier
Pour la 3) combien d'ideaux maximaux dans un anneau local?
Ah je vois pas y/x tu veux dire y divise x! Donc oui ca marche enfin il faut etre un peu plus rigoureux sur la fin mais c'est ça!
Rodrigo>pour la 3) A ne posséde qu'un seul idéal maximal qui est M.
(A/M ici c'est le complémentaire de M dans A en fait!)
Ben tu as quasiment tout fait...il ne reste plus qu'à utliser la proriété que tu as ennoncé sur les non inversibles...
Ben si les non inversibles sont les éléments dans la réunion des idéaux max, alors ici les non inversibles sont exactement les éléments de M donc A-M ne contient que des inversibles.
Réciproquement si A-M est formé d'inversible alors la réunion des idéauw max est inclus dans M donc si I est un idéal max alors I est inclus dnas la réunion des idéaux max et donc dans M donc M=I et ton aneeau est local!
huumm l'allé j'ai compris,le retour un peu moins!!
A-M est formé d'inversible alors la réunion des idéauw max est inclus dans M donc si I est un idéal max alors I est inclus dnas la réunion des idéaux max et donc dans M donc M=I et ton aneeau est local!
>Ca j'ai pas bien saisi!!
Si le complémentaire de M est formé d'inversibles;déjà pourquoi la réunion des idéaux maximaux sera dans M??
Tu l'as écrit toi meme les non inversibles sont la réunion des ideaux max, ici tous les non inversibles sont contenu dnas M (puisque quand on enlève M il ne reste que des inversibles) doncla réunion des idéaux max est dans M
Ben le fait que c soit stable par multiplication et qu'il y ait 1 n'implique pas du tout qu'il y ait les inverses n'importe quel anneau vérifie ça et il y a des anneaux qui ne sont pas des corps...il faut prouver que pour tout a dans A, a est dans I.
Si x est dnas ton anneau et i dnas ton idéal alors x.i est dans l'idéal et donc comme 1 est dans l'idéal alors x.1=x est dans l'idéal et donc A=I
Ok merci Rodrigo,c'est trés clair maintenant!
Si tu as un peu de temps devant toi...
Comment remontre t-on que si P est un idéal de A/I(I idéal de A anneau commutatif) alors s-1(P) est un idéal de a contenant I.
s:A->A/I
j'arrive à montrer sans difficulté que c'est un idéal de A mais pourquoi il contient I??
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac