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question commutation de matrices
bonsoir,
je travaille actuellement sur un exercice qui traite de la diagonalisation de matrices mais je suis bloquée a la dernière question qui traite de matrices qui commutent.
j'ai une matrice J=([16,4,-4],[-18,-4,5],[30,8,-7])
une matrice D que j'ai déterminéé : D=([0,0,0],[0,1,0],[0,0,4])
une matrice P que j'ai aussi trouvée : P=([1,0,1],[-2,1,-1],[2,1,2])
et f est l'endomorphisme de R3 de matrice J dans la base canonique de R3
j'ai déjà montré que Jk=PDkP-1
et la question est :
montrer qu'une matrice 
de M3(R) avec D si et seulement si est diagonale
je ne vois pas comment m'y prendre..
merci d'avance pour votre aide
La méthode élémentaire marche bien ici. On peut le faire à la main: tu poses puis tu écris
et tu obtiens bien D diagonale.
en effet ca marche très bien ! merci !
je me permet de soliciter encore votre aide car la deuxième partie de cet exercice ressemble beaucoup a cette question,
on a C(J)={M
M3
; JM=MJ}
je dois donner des matrices qui appartiennent clairement a C(J) mais je n'ai que la matrice identité qui me vient en tête au premier abord..
et ensuite on note N=P-1MP, montrer que MC(J) si et seulement si N est diagonale.. j'ai tenté de le faire de manière élémentaire comme précédemment mais cette fois ci ca ne marche pas ( sauf erreur de ma part )
salut
tu peux déjà remarquer que tout polynome en J commute avec J
en d'autre terme si M = P(J) où P est un polynome alors trivialement MJ = JM
....
oui, en effet, je n'avais pas du tout ce résultat en tête qui pourtant est assez évident aussi ! je pense alors que c'est bon pour cette question 
pour la seconde question en revanche je suis un peu perdue.. la méthode "triviale" ne fonctionne pas et je ne trouve pas d'autre moyen de m'en sortir
j'au réussi grâce à votre indication !
merci pour votre aide et le temps que vous m'accordez
j'ai juste deux dernières "petites" questions ( j'ai encore du mal a trouver comment démarrer les questions sur ce genre d'exercice )...
je dois déduire de tout cela que C(J) est l'ensemble des combinaisons linéaires de 3 matrices M1, M2 et M3 à préciser et en déduire aussi que C(J) est un sous espace vectoriel de M3(R) et en donner une base,
pour ce qui est de la première déduction j'avais pensé à N, P et P-1 car je ne ovois pas quelles autres matrices ca pourrait être mais le problème c'est que je ne trouve pas de justification et que l'on ne connait pas N, on sait juste que c'est une matrice diagonale..
Ta matrice diagonale s'écrit :
(a,b,c) quelconque)
qui est une combinaison linéaires des matrices
Tu pose et tu dois obtenir le résultat.
Ensuite C(J) étant l'ensemble des combinaisons linéaires de 3 matrices : c'est un sous-espace vectoriel (=Vect()
( c'est du cours sinon tu le redémontres à la main)
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