Niveau école ingénieur

Question de trigonométrie

Posté par
Lucas2244 22-08-18 à 18:55

Bonjour,
J'ai un exercice de trigonométrie que je ne comprends pas :
L'énoncé est : Trouver A>0 et φ tels que : 3 cosx + 4 = A · cos(x−φ) , ∀ x.

J'ai passé pas mal de temps à comprendre la correction mais je n'y arrive pas.
La correction est : On déduit que A et φ doivent vérifier le système :
Acosφ = 3
Asinφ = 4
Ce qui implique que A = 5 et φ ≈ 0,927 radian

Pouvez vous m'expliquer ce que fait la correction ou s'il y a une erreur dans cet exercice svp ?
Merci

Posté par re : Question de trigonométrie 22-08-18 à 19:03

C'est pas plutôt 3 cos x + 4 sin x = A · cos(x−φ) , ∀ x. ?

Si tu développes cos(x−φ) tu obtiens bien sin(x)sin(φ)+cos(x)cos(φ) OK ?
donc si on veut que ça soit égal à 3 cosx + 4sin x il faut bien que
A cos φ = 3
A sin φ = 4

Posté par re : Question de trigonométrie 22-08-18 à 19:03

salut

surement une erreur :

Citation :
Trouver A>0 et φ tels que : 3 cos x + 4 sin x = A · cos(x−φ) , ∀ x

Posté par re : Question de trigonométrie 26-08-18 à 14:52

D'accord merci
Mais si on veut résoudre 3 cos x + 4 sin x = A · sin(x)sin(φ)+ A · cos(x)cos(φ) , ∀ x, pourquoi les seules solutions sont celles qui vérifient ce système
A cos φ = 3
A sin φ = 4 ?

Posté par re : Question de trigonométrie 26-08-18 à 15:16

si c'est vrai pour tout x réel, regarde ce que cela donne pour x=0 et pour x=/2

et tu verras que ce sont les seules valeurs possibles.

Posté par re : Question de trigonométrie 26-08-18 à 15:24

matheuxmatou @ 26-08-2018 à 15:16

si c'est vrai pour tout x réel, regarde ce que cela donne pour x=0 et pour x=

/2

et tu verras que ce sont les seules valeurs possibles.

A une périodicité près.

Posté par re : Question de trigonométrie 26-08-18 à 15:55

pourquoi une périodicité près ???

on cherche déjà un Condition Nécessaire pour les valeurs potentielles donc je prends deux cas particuliers... pas question de périodicité ici !

ensuite bien sûr il faudra vérifier que ces valeurs fonctionnent pour tout x réel...

Posté par re : Question de trigonométrie 26-08-18 à 20:42

Bonjour,
@matheuxmatou, ma réponse de 26-08-18 à 15:24 était une erreur, je pensais que c'était les résultats d'une résolution d'équation.

@Lucas2244 Par ailleurs, le sous-espace vectoriel $vect\left \{ \sin,\cos \right \}\subset \mathbb{R}-$ espace vectoriel $\mathit{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , donc l'écriture est unique.

En complément:
$\left\{\begin{matrix}A\cos\phi=3\\A\sin\phi=4\\A\geqslant 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A\cos\phi=3\\A\sin\phi=4\\A\geqslant 0\\(A\cos\phi)+(A\sin\phi)^2=A^{2}=4^2+3^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=5\\\cos\phi=\dfrac{3}{5}\\\sin\phi=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.$

Donc: $\left\{\begin{matrix}A=5\\\tan\phi=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.$ et $\phi$ appartient au 1^er quadrant modulo $2\pi$ .