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Niveau Maths sup
Question Développements Limités
Posté par gui_tou
Bonjour à tous 
Un passage obscur dans un petit exo sur les DL :
Citation :
Nature de la série}^{n^2)
?
Je pose donc}^{n^2)
.
Soit
. Alors ![3$u_n=\exp\[n^2.\ln(1-\fra{1}{n})\]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$u_n=\exp\[n^2.\ln(1-\fra{1}{n})\])
.
J'utilise donc des développements limités, afin de trouver un équivalent de un.
Innocemment, au début je choisis de l'ordre 1 :
En 0, =x+o(x))
donc quand =-\fra{1}{n}+o\(\fra{1}{n}\))
.
Ainsi, en
=-n+o(n))
et par conséquent, \sim_{+\infty}-n)
Et de là vient le problème. On sait que=0)
.
On serait tenté de dire![3$\exp\[n^2.\ln(1-\fra{1}{n})\]\sim_{+\infty}\exp(-n)](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\exp\[n^2.\ln(1-\fra{1}{n})\]\sim_{+\infty}\exp(-n))
-(-n))=\fbox{\fbox{\fra{-1}{2})
.
Je veux bien, c'est confirmé par Maple. Mais c'est une FI non ? Comment se rendre compte que+n\longrightarrow_{n\to+\infty}-\fra{1}{2})
ou sans avoir la valeur exacte de la limite, comment savoir que ça tend pas vers 0 ??
En effet+1}_{\to0}\))
, oh la magnifique forme indéterminée !
Et donc après s'être rendu compte de ce petit problème, on reprend tout à 0, on fait le DL à l'ordre 2,
et on trouve finalement^n)
Donc la série est une série convergente.
Remarque : bien sûr si on arrive à obtenir le -1/2, pas besoin de faire un autre DL
Nature de la série
Je pose donc
Soit
J'utilise donc des développements limités, afin de trouver un équivalent de un.
Innocemment, au début je choisis de l'ordre 1 :
Ainsi, en
Et de là vient le problème. On sait que
On serait tenté de dire
Je veux bien, c'est confirmé par Maple. Mais c'est une FI non ? Comment se rendre compte que
En effet
Et donc après s'être rendu compte de ce petit problème, on reprend tout à 0, on fait le DL à l'ordre 2,
et on trouve finalement
Remarque : bien sûr si on arrive à obtenir le -1/2, pas besoin de faire un autre DL
Voilà voilà, merci de votre aide
Bonne journée !
salut Lucky
je pense que lim ( an - bn) =0 n'implique pas l'équivalence de exp(an) et exp(bn) en +oo.
en effet si on part de cn= an-bn tend vers 0 en +oo
alors exp(an) -exp(bn) = exp(an) ( 1 - exp(-cn)) = exp(an) ( 1 - (1- cn +o(cn)) =
exp(an) ( cn + o(cn))
cette expression ne tend pas forcément vers 0 , voir ton exo.
D.
Bonjour Raymond
Oui, d'accord mais ma question est comment se rend-t-on compte que ?
Merci de ton attention
Avec un "n²" devant, cela semble évident. De toute façon, il vaut mieux prendre plus de termes que pas assez. Il est plus agréable de laisser tomber quelques termes en fin de calcul plutôt qu'être obligé de tout recommencer.
J'essaie de les rendre attrayants 
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