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Question Forme Différentielle
Bonsoir à tous,
Oyez Oyez mathiliens nocturnes, un membre en détresse la veille d'un DS 
en fait ma question fait partie d'un sujet :
on prend un point Mo=(xo,yo) de R² et r positif ou nul. f une fonction harmonique ( C² sur U C R² dont le laplacien est nul ) et on définit
F(r) = Intégrale[ f(xo+rcos t, yo+rsint), {0,2Pi} ]
j'ai prouvé que F est définie continue sur R+.
Ensuite je prouve qu'elle est C^1 'jai utilisé le théorème de dérivation sous le signe intégrale mais je trouve pas la fonction majorant (intégrable) la dérivée partielle de f par rapport à r donc premier point qui me bloque
ensuite on me demande de prouver que rF'(r) est égal à l'intégrale curviligne d'une forme différentielle alpha=Adx+Bdy sur un contour T orienté
je dois préciser A et B et là je suis complétement bloqué
Merci d'avance
Salut Shake!
Pour le majorant c'est tout simple, f est C2 donc ses dérivées partielle par rapport à la première et la seconde variable sont notamment continues.
Quand r varie de 0 à 2Pi, (x0+r.cos t; x0+r.sin t) reste dans un compact (par exemple la boule fermée B((x0;y0);r))
donc on peut majorer chaque terme de la dérivée (par rapport à r) par une constante.
Comme l'intervalle d'intégration est de mesure finie, cette constante est intégrable et c'est réglé!
Pour la suite, il est clair que le contour orienté est le cercle de centre (x0;y0) et de rayon r parcouru dans le sens direct.Qu'obtiens-tu comme intégrale?
ensuite j'obtiens F'(r)= Intégrale[cost déron f/déron x +sint déron f/déron y]
le contour je suis okay mais je peine à trouver A et B
Pardon, il faut rajouter une multiplication par cos dans le premier terme et par sin dans le deuxième.
je me lance quand on pose le changement de variable x = r cos t y = r sint
on va avoir dx=-rsint dt et dy=r cos t dt
donc en remplacant rsint et r cost dans notre r F'(r)
on doit trouver A=-déron f/dérony et B= déronf/ déron x
qu'est ce que t'en penses ?
Bonjour, Shake et Tigweg
Shake, l'expression de A et B que tu as trouvée (à 1h53) est correcte ... Et ça va te permettre de montrer que F' est nulle (grâce à la formule de Green-Riemann, sachant que f est harmonique)
Bonjour Shake et perroquet ,
ok!
En fait tes notations A et B m'avaient fait penser qu'il s'agissait de constantes, et je n'en trouvais pas!
Je trouve moi aussi les mêmes A et B que vous du coup!
Par contre pour prouver que F' est nulle, ne suffit-il pas d'observer que le contour est fermé, de classe C1, et que le fait que f est harmonique implique (en appliquant le théorème de Poincaré) que la forme différentielle obtenue est exacte ?
Il est clair en effet que
Tigweg
Ca a marché ce matin Shake?
Exacte le contour est un fermé du plan R² donc ca marche pr le théorème de poincaré
Ouais ca va Merci ca a été le réveil a été dur par contre xD
Au fait tu es en Spé Shake?
C'est ce qui est marqué dans ton profil mais je ne savais pas que ce chapitre était au programme!
Bah j'ai bien l'impression à moins que ca fasse partie du hors programme qu'on fait vu que je suis en étoile. Notre nous précise pas ce qui est au programme et ce qui est hors programme on est censé connaitre tout ce qui nous raconte
Les formes différentielles de degré 1, les intégrales curvilignes sont au programme de Spé MP.
Par contre, la notion de fonction harmonique n'est pas au programme.
Professeur aussi, mais dans le Secondaire!
D'où mes petites absences fréquentes concernant certains sujets que je n'ai pas pratiqués depuis longtemps!
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