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Question isométrie

Posté par
tomsoyer
03-12-20 à 10:30

Bonjour,

On me demande de montrer que, pour tout vecteur v dans un espace vectoriel normé E, la translation x \rightarrow x+v est une isométrie.

J'ai bien l'impression d'être à coté de la plaque.
En effet, "une isométrie entre deux espace vectoriels normés (E, \lvert \lvert . \rvert \vert_E) et  (F, \lvert \lvert . \rvert \vert_F) est une application \phi : E \rightarrow F qui est un isomorphisme d'espace vectoriels et telle que, pour tout x dans E, \lvert \lvert \phi(x)\rvert\vert_F=\lvert\lvert x\rvert\rvert_E".

Cela risque d'être bête mais je ne comprends pas comment montrer que la translation est-elle un morphisme d'espace vectoriel ?

Bien cordialement
tomsoyer

Posté par
Zormuche
re : Question isométrie 03-12-20 à 10:36

Salut

Ce n'est pas le cas... Il suffit de regarder l'image de 0

Posté par
tomsoyer
re : Question isométrie 03-12-20 à 10:42

Merci beaucoup pour votre réponse.

Ainsi, la question vous semble-t-elle avoir un sens ?

Posté par
GBZM
re : Question isométrie 03-12-20 à 10:48

Bonjour,

Une translation est bien évidemment une isométrie (une application qui préserve la distance) : la distance de x et y est ||x-y|| ; quelle est la distance de x+v et y+v ?

Posté par
Zormuche
re : Question isométrie 03-12-20 à 10:51

dans la définition donnée par  tomsoyer  on lit bien qu'une isométrie est un isomorphisme

comment une translation en serait un si \phi(0_E)\ne 0_E  ?

Posté par
jsvdb
re : Question isométrie 03-12-20 à 11:00

Une translation est une isométrie affine.

Le terme isométrie est parfois un peu vague. Il peut renvoyer à deux termes distincts. Une isométrie peut désigner :

1- une isométrie vectorielle, il sera alors plus prudent de parler de transformation unitaire ou, si l'espace de départ et d'arrivée sont égaux, d'automorphisme orthogonal ;

2- une isométrie affine, c'est-à-dire une transformation bijective d'un espace affine euclidien dans un autre qui conserve les distances. On généralise cette notion aux transformations bijectives d'un espace métrique dans un autre qui conservent les distances.

Source

Posté par
GBZM
re : Question isométrie 03-12-20 à 11:04

La version anglaise est plus consistante.

Posté par
tomsoyer
re : Question isométrie 03-12-20 à 11:04

Bonjour GBZM,

On parle donc d'isométrie dans le cas d'espace métrique.
Je suis bien d'accord avec vous \lvert \lvert (x+v) - (y+v) \rvert \rvert=\lvert \lvert x-y \rvert \rvert.

J'aurai dû y penser en concevant que \phi n'est pas un morphisme comme me la dit Zormuche.
Veuillez m'excuser à vous deux.

Posté par
tomsoyer
re : Question isométrie 03-12-20 à 11:08

En effet, c'est sur cette ambiguïté que je semble avoir perdu mes moyens.

Je vous remercie beaucoup pour votre aide. Pour une raison certainement absurde, je n'arrivais pas à m'en sortir.

jsvdb @ 03-12-2020 à 11:00

Une translation est une isométrie affine.

Le terme isométrie est parfois un peu vague. Il peut renvoyer à deux termes distincts. Une isométrie peut désigner :

1- une isométrie vectorielle, il sera alors plus prudent de parler de transformation unitaire ou, si l'espace de départ et d'arrivée sont égaux, d'automorphisme orthogonal ;

2- une isométrie affine, c'est-à-dire une transformation bijective d'un espace affine euclidien dans un autre qui conserve les distances. On généralise cette notion aux transformations bijectives d'un espace métrique dans un autre qui conservent les distances.

Source

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