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Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue

Posté par
Enkidu 29-05-22 à 16:27

Bonjour,

Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,b]. Alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \int_{a}^b f(t)\sin(nt)dt.=0
Ma question est sûrement idiote mais je voulais savoir pourquoi dans la démonstration de ce résultat, on ne pouvait pas utiliser directement le fait que \lvert f \lvert soit majorée car continue par morceaux sur [a,b].

Ne peut-on pas écrire :
Il existe un réel positif M tel que \lvert f \lvert \leq M donc \lvert f \sin(nt) \lvert \leq \lvert M \sin(nt) \lvert puis utiliser la croissance de l'intégrale ?

Merci pour la réponse,

Posté par
GBZMre : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 29-05-22 à 16:35

Bonjour,

Comment comptes-tu utiliser la "croissance de l'intégrale" ?

Posté par
Enkidure : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 29-05-22 à 17:25

Merci pour ta réponse. Il est vrai que j'aurais dû mettre des guillemets autour de l'expression "croissance",  désolé pour cet abus de langage.

Je crois que je viens de me rendre compte de ma boulette...

Je pensais qu'on pouvait écrire :

\displaystyle \int_{a}^{b} \lvert f(t)\sin(nt) \lvert dt  \leq M \int_{a}^b \lvert  \sin(nt) \lvert dt

Et qu'on pouvait calculer le membre de droite, là est ma grossière erreur.

Tu confirmes ?

Merci,

Posté par
GBZMre : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 29-05-22 à 18:44

Je confirme que \int_a^b |\sin(nt)|\, dt ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini.

Posté par
Enkidure : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 30-05-22 à 00:40

Merci pour tes réponses, elles m'auront permis d'y voir plus clair.  

Effectivement, la limite de cette intégrale se calcule (en découpant [a,b] en intervalles où sin(nt) reste de signe constant). J'ai trouvé 2(b-a)/pi (sauf erreur) et cela ne permet effectivement pas de conclure quant au résultat annoncé par le lemme.

Merci encore !

Posté par
GBZMre : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 30-05-22 à 09:45

Avec plaisir.

Posté par
jarod128re : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 30-05-22 à 14:33

Bonjour,
je suis curieux de voir ton calcul donnant 2(b-a)/pi

Posté par
GBZMre : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 30-05-22 à 14:45

Il suffit de penser à un changement de variable ...

Posté par
jarod128re : Question sur la preuve du lemme de Riemann-Lebesgue 30-05-22 à 15:15

Bon, je sors prendre l'air.


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