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question sur le sup
Bonjour tout le monde,
Dans la preuve du théorème de dérivation sur les suites de fonctions, je bute sur un point.
I ouvert fn:I->C une suite de fonction
1) fn converge simplement vers f:I->C sur I
2) fn est dérivable sur I
3) fn' converge uniformément vers g sur I
=> f est dérivable sur I et f'=g
preuve:
soit t0 dans I
On pose
hn(t)= (fn(t)-fn(t0))/(t-t0) définie sur I privé de t0
h(t)= (f(t)-f(t0))/(t-t0) définie sur I privé de t0
En utilisant le TAF (on sépare les parties im et re des fn ...), on obtient
pour tout p,q dans IN
|(hp-hq)(t)|<= ||fp'-fq'||oo pour tout t dans I privé de t0 (1)
Et là on passe à
||hp-hq||I\{t0}oo<= ||fp'-fq'||oo (2)
Il me semble que (1) n'implique pas forcément (2) non?
Je veux dire que l'on est normalement obligé de se pencher sur les limites aux bornes de I\{t0}, je me trompe?
Lim en t0 de hn = fn'(t0) donc ça semble fonctionner.
Est-ce que c'est implicite dans la démonstration? Il me semble que c'est une précision nécessaire non?
En d'autres termes je ne me souviens plus comment on démontre le passage à la limite dans les inégalités.
Salut,
je ne comprend pas trop tes notations et je n'ai pas envie de me casser la tête dessus.
Ne voudrais tu pas retaper ça en tex s'il te plait ?
Bonjour, letonio.
Réponse à ta question
L'inégalité (1) entraîne l'inégalité (2), (sans qu'on ait besoin d'étudier ce qui se passe au voisinage de t_0).
En effet, l'inégalité (1) permet d'affirmer que la fonction h_p-h_q est bornée sur I-{t0}, et qu'un majorant de |(h_p-h_q)(t)| sur I-{t0} est . On en déduit de plus que:
Une faute dans ce que tu as écrit
Le théorème des accroissements finis dans R ne te permet pas d'obtenir l'inégalité (1). Il faut utiliser l'inégalité des accroissements finis dans C, (qui n'est pas du tout agréable à démontrer, si on a la seule hypothèse de dérivabilité).
Le théorème des accroissements finis dans R ne te permet pas d'obtenir l'inégalité (1). Il faut utiliser l'inégalité des accroissements finis dans C, (qui n'est pas du tout agréable à démontrer, si on a la seule hypothèse de dérivabilité).
Oui c'est ce que j'ai essayé de signaler. En fait dans la preuve que j'ai, voilà ce qu'on me dit:
on sépare les parties imaginaires et réelles de la fonction fn et on suppose que fn est à valeurs dans IR . Ce qui permet d'utiliser le TAF habituel dans IR. Par contre, j'avoue que la manière dont on s'y prend est assez floue pour moi... Si quelqu'un a des précisions ça m'intéresse.
Perroquet, pourrais-tu m'indiquer comment on démontre le passage de (1) à (2)? Comment est-on sûr de ne pas avoir de problème aux bornes, pour le sup, l'inf de I\{t0} et en t0?
Otto, désolé, je croyais que mes notations étaient celles habituellement utilisées.
Pour le problème des fonctions à valeurs dans C
La démonstration de ton cours utilise en fait deux théorèmes:
Une fonction f de I dans C est dérivable en t_0 si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont dérivables en t_0
Si une suite de fonctions (g_n), définies sur I, à valeurs dans C, converge uniformément vers g sur I, alors la suite (Re(g_n)) converge uniformément vers Re(g) sur I et la suite (Im(g_n) converge uniformément vers Im(g) sur I
(la réciproque de ce deuxième théorème est vraie, mais on n'a pas besoin de la réciproque ici)
Ce sont ces deux théorèmes qui justifient le fait qu'on peut se limiter au cas où les fonctions sont à valeurs dans R
Pour montrer que (1) implique (2)
C'est ce que mon post de 16h17 t'explique (à partir de "En effet ...)
Je crois que j'ai du mal à exprimer clairement ce qui me pose problème.
pour t dans I-t0 |(hp-hq)(t)|<= ||fp'-fq'||oo (1)
ok la fonction est bornée et majorée sur I\t0
On en déduit que
||hp-hq||I\{t0}oo<= ||fp'-fq'||oo (2)
Le sup prend en compte les limites quand t->t0 sup I ou inf I.
Comment prouve t-on que l'on ne peut pas avoir par exemple:
lim t->t0|hp-hq|
||fp'-fq'||oo
Je sais que c'est complètement anti-intuitif, mais il me semble que ça mérite d'avoir les idées au clair non?
En fait je crois que l'on peut poser mon problème autrement.
Comment prouve-t'on que
Un <= C c constante
=> lim Un<= c
Je sais que c'est tout bête, mais je ne me souviens plus comment on fait.
Ce n'est pas tout bête, mais c'est du cours.
Soit l = lim u_n
Soit epsilon>0.
Il existe N tel que, pour tout n supérieur ou égal à N:
l - epsilon < u_n < l+ epsilon
En particulier:
l - epsilon < u_N < C
Donc:
l < C + epsilon.
Ceci étant pour tout epsilon:
l est inférieur ou égal à C
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