salut

pas très clair tout ça ...

pour les fonctions ben tu travailles tout simplement dans l'espaces vectoriels des fonctions de A dans E

epictou ...

Bonjour ZiYun.

Citation :
La convergence uniforme des est dans quel espace ?

Bonsoir,

Comme il a été dit, E est un espace métrique. Et même en prenant le problème simple où E est un ev, je ne vois pas quelle norme sera adaptée.
jsvdb je cherche à travailler dans l'espace des fonctions bornées car c'est le plus adapté à une " convergence uniforme ". En fait, quand on parle de convergence uniforme, elle est bien associée à une topologie sur un espace de fonctions de A dans E n'est-ce pas ? Si cela est bien le cas, je ne vois pas quel espace prendre ( comme dit précedemment, ce qui est intuitif c'est de travailler sur l'espace des fonctions bornées, car d'une part on a la convergence -> suite bornée, d'autre part uniforme -> sup existe car ce sont des fonctions bornées ) enfin, ce n'est que mon point de vue, qui est vraisemblablement faux.

J'espère que vous pourrez m'aider encore plus.

Merci d'avance,

Bonsoir,

Je m'excuse pour le double post, je viens de m'apercevoir de votre dernier message.
Je ne comprends pas pourquoi votre suite (f_n) n'est pas bornée dans l'espace des fonctions de [0,1] à valeurs dans . Pour parler de la notion de bornitude il faut d'abord préciser une distance non ?

Merci d'avance

Oui en fait, je ne comprends pas pourquoi elles devraient être bornées ni pourquoi elles ne devraient pas l'être. La définition que je connais d'une suite (U_n) dans un espace métrique (E,d) qui est bornée c'est qu'il existe un aE et M>0 tel que n , d(a,U_n)M . Mais je ne vois pas pourquoi votre suite (f_n) se soumet ni ne se soumet pas à cette assertion.

Merci encore,

Et donc on a pas besoin d'une certaine topologie pour parler de convergence uniforme alors ?
Je pensais qu'à chaque fois qu'on parlait de "convergence" , il y'avait une topologie cachée derrière.

Ah ça oui, pour parler de convergence, il faut une topologie quelque part.
Mais voyons de près comment ça marche :

On se donne un ensemble X quelconque et un espace métrique (E,d).
On prend une partie A de X et une suite de fonction .
La suite de fonction est quelconque à priori.
On dit que la suite converge uniformément sur A vers un certaine fonction si :

.

La seule topologie que j'ai utilisée est la topologie de la distance sur E.

Et maintenant, et seulement maintenant, je peux introduire un écart par

pour toute fonction définie sur X à valeur dans E.

Et tu vois qu'il n'y a aucune topologie sur X donc aucune sur A.

Alors, cet écart n'est pas une distance, mais je peux reformuler ma convergence uniforme sur A par :

.

Après, au besoin, je peux définir une topologie sur l'ensemble F des applications de X dans (E,d) par ses boules ouvertes de cette façon :

et que l'on appellera la topologie de la convergence uniforme sur A à l'aide de l'écart .

Si maintenant, il y a sur X une topologie séparée qui fasse de A un ensemble compact, et que l'on restreigne F à l'ensemble des fonctions continues de X dans E alors l'écart prendra le nom de distance uniforme et la topologie, le nom de topologie de la convergence uniforme sur A (même nom) : c'est celle que tu connais bien et qui n'est en fait qu'un cas particulier de celle que je décris au-dessus.
On pourra alors démontrer qu'une suite de fonctions continues sur A qui converge uniformément vers une certaine fonction g, alors la limite est continue, la suite est bornée en distance sur A etc etc; les théorèmes que tu connais bien dans ce cadre.
Et si on fait varier A, on obtient une nouvelle topologie, (classifiée dans les topologies de limite inductive) et qui s'appelle  topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Mais ça c'est une autre affaire et ton problème initial ne s'inscrit pas dans ce cadre particulier, mais dans le cadre général décrit au dessus.

NB : dans ton problème, on parlera de limite dans A, sous-ensemble de X, donc il faudra une topologie sur X du coup.

Oui, on travaille tout simplement dans l'espace vectoriel des fonctions de A dans E. L'important est la distance, on est bien d'accord .
Si E n'est qu'un espace métrique, on ne pourra pas parler de vectoriel pour les fonctions de A dans E.

ha oui d'accord !!

merci

Bonsoir,

Je vous remercie pour votre réponse, c'était bien détaillé. Donc en réalité la topologie associée à cette convergence en général c'est une topologie associée à un écart et non une distance. Et seulement dans le cas où la topologie induite sur un A compact est séparée que cela devient une distance car du coup les fonctions sont bornées et on a le critère de séparation.

Je dirai que dans le problème initial, on se fiche pas mal de la topologie que l'on met dans l'ensemble des applications de X dans E. Tout ce qui compte c'est que X soit un espace métrique et que la suite f_n converge uniformément vers g sur A.

Je vois. Merci énormément pour votre explication.