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question sur les dérivées, suites et principe de récurrence ...

Posté par
karim 07-03-07 à 16:50

Bonjour,
je bloque sur des sujets différents, et sollicite votre aide
QUESTION 1 : dérivée
soit f une fonction dérivable en y. Pourquoi est il correct d'écrire :
f(x) = f(y) + (x-y)Phi(x) (avec Phi unefonction continue) ?

Question 2: Principe de récurrence
je ne sais pas comment rédiger proprement une récurrence finie.

QUESTION 3 : limite d'une célèbre suite
soit a appartenant à R. Pourquoi est ce que la suite : a^n/n! -> 0 en +oo ?
Pouvez-vous me le démontrer sans utiliser les séries car c'est le programme de deuxième année...
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Nightmarere : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 16:55

Bonjour

3$\rm \lim_{x\to y} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(y)
Donc
3$\rm f(x)-f(y)=(x-y)(f'(y)+\epsilon(x))
D'où :
3$\rm f(x)=f(y)+(x-y)\phi(x) (Où 3$\rm \phi(x)=f'(y)+\epsilon(x) continue)

Posté par
Cauchyre : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 16:55

Bonjour,

pour la premiere question on a alors en posant f(x)-f(y)/x-y=Phi(x) que Phi est continue en y grace à la dérivabilité de f et ailleurs il n'y a pas de probleme.

Posté par
Cauchyre : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 17:08

Pour le 3ème considère le rang N à partir duquel a<N et coupe ton produit en deux l'un borné car contenant un nombre fini de termes et l'autre tendant vers 0 en majorant par une suite géométrique de raison <1.

Posté par
karimre : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 17:42

d'accord je vais essayé. Merci

Posté par
Nightmarere : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 17:43

Voici une idée pour la troisième, peut être plus longue que celle de Cauchy (que je salus au passage )

3$\rm U_{n}=\frac{a^{n}}{n!}
3$\rm U_{n+1}=\frac{a}{n+1}u_{n}

Lorsque 3$\rm n\ge a, \frac{a}{n+1}\le \frac{a}{a+1}
On en déduit :
3$\rm U_{n+1}\le \frac{a}{a+1}u_{n}
On montre facilement par réccurence que 3$\rm u_{n}\le \(\frac{a}{a+1}\)^{n}u_{0}
Or 3$\rm \(\frac{a}{a+1}\)^{n}\longrightarrow_{n\infty} 0
D'où comme (un) est positive...

Posté par
karimre : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 17:45

coool ca a marché

Posté par
karimre : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 17:46

reste plus qu'à me sauver pour m'expliquer le principe de la récurrence finie, puis si possible comment le rédiger !

Posté par
Cauchyre : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 18:27

Salut Nightmare,

c'est globalement la meme chose que je proposais

Posté par
Nightmarere : question sur les dérivées, suites et principe de récurrence 07-03-07 à 18:28

Oui c'est vrai...


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