Bonjour
une toute petite question :
Pour démontrer qu'une application est un morphisme d'anneaux, il faut
f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y), ça c'est ok.
Mais doit on avoir f(1)=1 et f(0)=0 ?
Ou bien n'est-il pas obligé de vérifie que l'élément neutre d'un anneau a bien pour image l'élément neutre de l'autre anneau, et idem pour l'élement unité?
Merci !!
Merci . Oui , justement comme il n'est pas écrit dans la fiche pour le f(0)=0 je me demandais si c'était obligé. En effet, ca se déduit du reste.
Bonne soirée !!
Ouh la je suis fatigué moi ... c'est pas très français tout ça .... lol
soit f: (A,+,.) -> (A',T,*)
avec A et A' deux anneaux et +,. et T,* les lois de composition interne sur ces anneaux
tu as donc pour tout x,y de A
f(x+y)=f(x)Tf(y)
et f(x.y)=f(x).f(y)
si T<-> + et *<-> .
alors tu as f(0+0)=f(0)+f(0)
tu en deduis donc f(0)=2f(0) donc f(0)=0
de meme
f(1.1)=f(1).f(1)
tu en deduis donc f(1)=[f(1)]^2 donc f(1) (1-f(1))=0
or si f(1) =0
alors pour tout x de A f(x.1)=f(x).f(1)=f(x).0=0 donc f est le morphisme nul
sinon f n'est pas le morphisme nul
nous obtenons f(1)=1
dans le cas ou T + et * .
tu obtiens f(0+)=0T et si f n'est pas le morphisme nul
f(1.)= 1*
donc t'es entrain de dire que la condition f(1)=1 n'est même pas obligatoire à vérifier ? Ou j'ai pas compris ....
Salut,
ce résultat n'est brai que si l'anneau sur lequel on travaille est intègre, en effet sinon f(1)(1-f(1))=0 n'implique pas que f(1)=0 ou f(1)=1 il faut donc en général montrer que f(1)=1
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