Bonsoir, j'ai une petite question sur l'étude des suite récurrente.
En exercice on a fait quelque étude sur ces suites, mais la fonction f(x) associée était toujours croissante.

Dans le cours on a vu que si f(x) était décroissante il fallait utiliser deux sous suites U(2n) et U(2n+1).

J'ai essayé, mais je en vois pas comment finaliser.

J'ai considérer u(n+1) = exp(-U(n))/U(n)
j'associe f : ]0,oo[ => R  f(x)=exp(-x)/x

f strictement décroissante.
f possède un unique point fixe tel que exp(-) = ²

j'ai donc f(x)-x >0 sur ]0,alpha]
f(x)-x <0 sur [alpha , +oo[

graphiquement je vois que U(n) diverge.

Comme f(x) décroissante j'utilise les 2 fameuses suites extraites. auquelles j'associe f°f qui est croissante car (f°f)'(x)=f'(f(x)).f'(x)>0 car f'(x)<0

Ces suites extraites sont donc monotones, de sens de variation contraires, donnés par le signe de f°f(x)-x = exp(-f(x))/f(x)-x = x( exp(x-f(x)) - 1) (en remplacant f(x) par son équation).

DOnc le signe de f°f(x)-x dépend de celui de x-f(x) (qui a deja été calculé précedemment pour l'obtention des points fixes de f). DOnc
est aussi l'unique point fixe de f°f.

Ensuite je ne sais pas quoi faire. J'aurai pensé montrer que U(2n) est décroissante et U(2n+1) croissante. Puis montrer qu'elles n'ont pas la meme convergence pour enfin pouvoir conclure sur la convergence de U(n)

Merci beaucoup de votre aide!