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Question sur mon cours (fonction lipschitzienne contractante)
Bonjour tout le monde et bonne année!
Dans mon cours j'ai noté qu'une fonction est lipschitzienne si
Et on dit qu'elle est contractante si k =< 1 .. Or là je fais un exo avec quelqu'un qui n'est pas dans ma classe qui a noté
|f(x)-f(y)| =< k |x-y|
contractante si k < 1
Doit-on alors mettre des inégalités strictes ou larges et pourquoi?
Merci d'avance!
Tu as vu les espaces complets et le théorème du point fixe ?
[Si non, ne lis pas ce message]
Si oui, voici un exemple de fonction lipschitizienne de rapport 1 non contractante :
sur [1;+infini[ on considère la fonction g définie par
Cette fonction n'admet pas de point fixe dans [1;+infini[ (car pas de point fixe du tout dans R)
La focntion g est définie de [1;+infini[ dans lui-même, et [1;+infini[ est complet (comme fermé de R qui est complet - pour la distance usuelle, ie la valeur absolue)
Si g était contractante, d'après le théorème du point fixe, g admettrait un (unique) point fixe dans [1;+infini[ ; ce qui n'est pas le cas, donc g n'est pas contractante.
g est en fait lipschitzienne de rapport 1 :
|g(x)-g(y)| = |x+1/x-y-1/y| = |x-y|(1-1/xy) <= |x-y|
Comme quoi "contractante" signifie bien "lipschitienne de rapport k<1"... ou alors ils auraient écrit le théorème autrement.
Critou
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