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Question: Transposée d un produit de matrice

Posté par El (invité) 16-12-03 à 15:35

La transposée d'un produit de matrice est elle égale au produit des transposées?
Soit,
Question:  'transposée de'(AB) = Transposée(A) . Transposée (B)

Si quelqu'un sait, j'ai besoin de la réponse rapidement, alors:


Merci!!

Posté par Domi (invité)re : Question: Transposée d un produit de matrice 16-12-03 à 18:01

Bonjour,

Non

transposée(AB) = transposée(B) . transposée (A)


A+



Posté par MMu (invité)re : Question: Transposée d un produit de matrice 16-12-03 à 18:03

Non, en général on a : T(A*B) = T(B)*T(A)

Posté par zapolki (invité)re : Question: Transposée d un produit de matrice 20-12-03 à 19:30

ecoute pour rependre a t as question tu devrais avant tous prendre
deux matriceAetB  et faire le prodiut transpose et faire le produit
des transpose de chacune et comme  ca c'est tois qui me donneras
la repense

Posté par
mauricette
re : Question: Transposée d un produit de matrice 26-12-04 à 15:39

Bonjour!
est ce que quelqu'un connaitrait la demonstration de ce théorème ?
transposée (AB) = transposée(B) * transposée(A)

Posté par saber-x- (invité)re : Question: Transposée d un produit de matrice 26-12-04 à 15:45

Salut, il suffit que tu developpe par rapport à une ligne ou une colonne pour voir ca . et si c'est vraiment interressant et t'arrive pas je t'ecrirais un fichier latex, et je te l'enverrais, c'est comme tu veux.

Posté par
mauricette
re : Question: Transposée d un produit de matrice 26-12-04 à 15:50

slaut!
euh qu'est ce que tu entend par developper par rapport à une ligne ou une colonne ?
qu'est ce que je dois developper ?

Posté par saber-x- (invité)Salut 26-12-04 à 16:12

le transpose de ton produit

Posté par
mauricette
re : Question: Transposée d un produit de matrice 26-12-04 à 16:20

ah ouip
alors j'obtient
soit P : n lignes; m colonnes
     Q : m lignes; p colonnes
      PQ = C
Ci,j = somme de k=1 à m (p(i,k)*q(k,j))
et transposée(Ci,j)= somme de k=1 à m (p(j,k)*q(k,i))

apres ca je vois bien qu'il ya la transposée de P et celle de q qui apparait ..
mais je ne voit pas comment m'en sortir ...

Posté par saber-x- (invité)Salut 26-12-04 à 16:34

bon essaye de prouver point par point que la différence est nulle, c'est facile. donne moi ton mail je t'enverrais un petit croquis.

Posté par
mauricette
@ 26-12-04 à 16:36

oki!
merci
je te l'ai envoyé sur ton @ mail

Posté par saber-x- (invité)ah ok 26-12-04 à 16:37

ok je verrais ca .

Posté par Emma (invité)re : Question: Transposée d un produit de matrice 26-12-04 à 16:50

La démonstration n'est pas longue à écrire, alors... je me lance... ça complètera peut-être le schéma et les explications de saber-x-)... et ce n'et pas perdu sur le forum

Je note (M)_{i,j} pour désigner le terme situé à la ième ligne et jème colonne de la matrice M.
Et je note (M)^T la matrice trnasposée de M

Je suppose que A et B sont des matrices de dimensions respectives n m et m n
Alors A.B est une matrice de dimensions m m

Soient i et j dans [[ 1 ; m ]] :

(A.B)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^m \;(A)_{i,k}.(B)_{k,j}

Donc ((A.B)^T)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^m \;(A)_{j,k}.(B)_{k,i}



D'autre part, ((B)^T.(A)^T)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^m \;((B)^T)_{i,k}.((A)^T)_{k,j}

Or, par définition de la transposée de B, le terme ((B)^T)_{i,k} est égal à (B)_{k,i}
Et, par définition de la transposée de A, le terme ((AB)^T)_{k,j} est égal à (A)_{j,k}

Donc ((B)^T.(A)^T)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^m \;((B)_{k,i}.(A)_{j,k}

Or , pour tout k de [[ 1 ; m ]], ((B)_{k,i}.(A)_{j,k}\;\;=\;\;(A)_{j,k}.((B)_{k,i}...

Donc \Bigsum_{k=1}^m \;((B)_{k,i}.(A)_{j,k} = \Bigsum_{k=1}^m \;(A)_{j,k}.(B)_{k,i}


--------

Ainsi, pour tous i et j dans [[ 1 ; m ]] , ((A.B)^T)_{i,j} = ((B)^T.(A)^T)_{i,j}

Par suite, les matrices (A.B)^T et (B)^T.(A)^T sont donc bien égales

@+
Emma

Posté par saber-x- (invité)Salut 26-12-04 à 17:07

Emma je lui ai déja envoyé un fichier comportement cette demonstration mais t'es rapide toi dis-donc.

Posté par
mauricette
merciiiiiiiiii 26-12-04 à 17:15

merci bcp à ts les deux!
ca m'a bcp aidé!

Posté par Emma (invité)re : Question: Transposée d un produit de matrice 26-12-04 à 17:31

Pas de quoi, mauricette

saber-x-, j'avais compris que tu lui envoyais un fichier par mail... mais au moins si quelqu'un cherche cette démonstration par le moteur de recherche, il ne trouvera pas seulement la question sans réponse...

D'ailleurs, au passage, c'était une bonne idée, mauricette , de chercher sur le forum avant de poser ta question


Dernière chose : à propos des trois lignes qui sont mal ressorties dans mon dernier message : il fallait lire :
------
<font color=blue>Or, par définition de la transposée de B, le terme \blue((B)^T)_{i,k} est égal à \blue (B)_{k,i}
Et, par définition de la transposée de A, le terme \blue((AB)^T)_{k,j} est égal à \blue(A)_{j,k}</font>
------
et tout à la fin
------
<font color=blue>Par suite, les matrices \blue (A.B)^T et \blue (B)^T.(A)^T sont donc bien égales</font>
------

@+ tout le monde
Emma Question: Transposée d un produit de matrice

Posté par saber-x- (invité)Salut Emma 26-12-04 à 21:50

mais bon je sais pas comment le mettre en ligne, en plus ecrire du tex ici c'est pas tres evident avec les balises qu'il faut mettre etc...
si tu sais comment faire dis le moi.
merci



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