1. Si (un)n∈N n'est pas bornée, alors |un| → +∞
Faux : contre-exemple avec 1/n, non bornée (non convergente) et tend vers 0 en +∞

2. Si un − vn → 0 alors lim n→+∞ un = lim n→+∞ vn
Egalement faux : je ne sais pas comment justifier mais en fait cela découle de deux suites adjacentes. Si (Un) est croissante et (Vn) décroissante alors cela est vrai. Or si les deux sont croissantes ou décroissantes cela ne marche.

3. Si (sin un) converge alors (un) converge.
Faux : cela découle de sin(Un) qui, par valeur absolue, est comprise entre -1 et 1 et donc si on utilise la définition de la limite et l'inégalité triangulaire, cela ne converge pas.

4. Si (sin Un) converge et (Un) est bornée alors (Un) converge
Cela me semble vrai donc mais aucune idée de la justification.

5. Si Un/Un+1→ 1 alors (Un) converge.
Je suis passé par la défintion de la limite |(Un)/(Un+1)-1| < epsilon mais aucune ensuite, après avoir ajouter un des deux.

6. Si (Un) converge alors Un/Un+1 → 1
Je n'ai pas de piste non plus ici

7. Si Un*Un+1 → L > 0 alors (|un|) converge vers √L
Je vois qu'il faut passer par la définition de la limite mais je n'y suis pas arrivé

8. Si Un → 1 alors Un^n → 1.
Faux : j'ai pensé à utiliser 1+((-1)^n/n) qui converge vers 1 si l'on prend deux suites extraites (U2n) et (U2n+1). Mais ) la puissance n, cela diverge.

9. Si Un^n → 1 alors un → 1
Vrai : passage à la définition de la limite puis utilisation de la racine n-ième. Après cela, en +infini, cela tend vers 1 par le théorème d'encadrement

Les pistes que j'ai pu donner peuvent être fausses bien entendu. Je ne veux pas vraiment connaitre les solutions mais davantage avoir des indications pour réussir à répondre à ces questions !
Merci beaucoup d'avance pour votre temps !