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Questions sur les Suites récurrentes
Bonjour, il y a dans mon cours des points que je n'arrive pas à comprendre, et donc à retenir, nous avons bientôt fini le chapitre alors les questions vont peut-être vous sembler un peu sans lien.
• Je ne comprend pas pourquoi , lorsque l'on utilise la méthode des accroissements fini ( celle avec ou sans valeur absolue, peu importe ) cela donne : m(b-a)≤ f(b) - f(a) ≤ M(b-a)
• Pourquoi ( concernant les suites extraites ) ssi lim(Vn)=lim(Wn)=L alors lim(Un)=L
avec n -> +oo , et Vn=U2n et Wn=U2(n+1)
• Je n'ai pas non plus saisi pourquoi la premiere bissectrice ( y = x ) nous donne des informations sur la suite, comme par exemple que le point de convergence est f(x) = x . ( Notez bien que ce que je n'ai pas compris est l'origine de y = x , et sont rapport avec les suites récurrentes)
• Enfin je ne vois pas pourquoi pour Un > 0 , ayant donc ( Un+1 / Un ) ≤ 1 ou ≥ 1 cela donne le sens de variation ? Je ne vois pas le rapport avec la variation. D'ailleur je ne comprend pas comment (Un) peut être > 0 sans que (Un+1 / Un) soit ≥ 1 .
Je remercie d'avance ceux qui releveront la lourde tâche de m'expliquer tout cela !
Bonsoir 
1) Le théorème des accroissements finis nous dit qu'il existe c tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
Mais si f'(c) est bornée par m et M alors on a bien m(b-a) < f(b)-f(a) < M(b-a) non?
2) C'est assez simplement, si tu veux la démonstration rigoureuse je te la ferais, mais intuitivement, il semble clair que vu qu'un entier est soit pair soit impair, si la suite indexée par les entiers pairs et la suite indexée par les entiers impairs convergent toutes les deux vers la même limite, alors la suite indexée par tous les entiers va converger vers celle limite.
3) Si (Un) est définie par son premier terme U0 et par la récurrence U(n+1)=f(Un) où f est continue et si (Un) converge alors c'est vers un point fixe de f (ie un x tel que f(x)=x)
En effet, si U(n) converge vers l alors U(n+1) aussi
mais f(Un) converge vers f(l) par continuité donc f(l)=l par unicité de la limite.
4) Si U(n) est positive et que U(n+1)/Un < 1 par exemple. En multipliant par Un on a bien U(n+1) < Un non? donc (Un) est décroissante.
Prendre U(n+1)=1 et U(n)=2. Que vaut U(n+1)/Un ? C'est bien inférieur à 1 non? Et pourtant les deux termes sont positifs...
Bonsoir,
Merci pour l'aide !
Par contre je n'ai toujours pas compris mon troisième point. Je suis un peu plus eclairé mais je ne comprend toujours pas en quoi f(x)= x à un role avec les (Un) et la convergence.
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