Bonjour,

Tu veux dire fermé (dans ), je suppose, et pas fermé ?

Non je voulais dire G/H Hausdorff pardon

Ça me semble l'implication la plus facile : si est Hausdorff, que peux-tu dire du singleton dont le seul élément est ?

J'ai oublié de le dire donc d'abord : merci pour ta réponse

Ensuite comme est Hausdorff, on a que , ouverts tq =, donc on peut avoir , donc si on prend un quelconque, en prenant on a un ouvert d'intersection vide avec donc est ouvert ?

Je l'ai pas dit car je n'étais pas concentré mais H est dans U, gH dans V

Bon, de manière générale un singleton dans un espace topologique Hausdorff est toujours fermé.

Bon, ça c'était une indication de départ. Et maintenant, sers-t'en pour montrer que H est fermé dans G.

Mais ce que j'ai fait ne fonctionne pas ? Je ne vois pas ou.

On peut utiliser la continuité de l'application canonique pour avoir ^-1()= qui est donc fermé

Où vois-tu que je dis que ça ne fonctionne pas ? Je dis simplement que c'est un fait classique et tout à fait général que dans tout espace séparé les singletons sont fermés. Je pensais que tu le savais sans avoir besoin de le redémontrer dans ce cas particulier.

On a donc une implication. Pour l'autre, ça va ?

Je demande c'est tout.
Oui ce n'est pas quelque chose qui m'est venu mais je connais cette petite propriété.
Oui pour l'autre c'est bon.

Merci pour ton aide, comme souvent.

Avec plaisir.

L'autre implication me semble a priori un peu plus compliquée, mais puisque tu l'as démontrée, pas besoin que j'en dise plus.