Bonsoir.

Effectivement, l'ensemble vide est un voisinage de chacun de ses points. Il est ouvert.

Il est aussi vrai de dire qu'il n'existe aucun point dont il est un voisinage. Et pourtant il est quand même ouvert. Sacré ensemble vide...

Merci de ta réponse rapide,
J'en conclus donc que toute assertions de la forme
x P(x)
est vraie peu importe P(x), c'est bien ça ?

Oui.

Très bien, merci.
Aurais-tu une démonstration de cette propriété sur l'ensemble vide ou bien est-ce un axiome ?

C'est une propriété, dont la démonstration repose sur le fait que l'ensemble vide est un ensemble qui par définition ne contient aucun élément.

En effet, la négation de cette propriété serait :

.

En particulier, si la négation était vraie, l'ensemble vide contiendrait donc un élément (qui de plus vérifie P(x), mais on s'en moque). Or par définition de l'ensemble vide, un tel élément n'existe pas. C'est donc que la négation est fausse, donc la première propriété est vraie.

Une variante : la propriété peut se réécrire :



Or tu as peut-être appris que l'implication signifie (non a, ou b). Ici, quel que soit x, on a donc qui signifie , ce qui est trivialement vérifié car on sait que est vrai.

Je reviens sur la définition de l'ensemble vide. Car en effet, on peut se demander s'il existe un tel ensemble. Et s'il en existe un, est-il unique. Cette question est tellement élémentaire qu'elle a effectivement besoin d'axiomes pour y répondre. En théorie des ensembles, l'existence d'un ensemble qui ne possède aucun élément est une conséquence de ce qu'on appelle le schéma d'axiomes de compréhension. Pour faire simple, c'est ce qui te permet de dire que si par exemple est un ensemble, alors la collection d'objets est aussi un ensemble. Pour définir l'ensemble vide, il suffit par exemple de le définir comme . Son unicité est garantie par un autre axiome, celui d'extensionnalité, qui dit en gros qu'un ensemble est entièrement caractérisé par les éléments qu'il contient. Donc s'il existe deux ensembles vides et , alors ils possèdent par définition exactement les mêmes éléments (en l'occurence, aucun), donc par cet axiome d'extensionnalité, ils sont en fait égaux : , d'où l'unicité de l'ensemble vide. En espérant ne pas t'avoir trop embrouillé l'esprit avec cette digression...

D'accord très bien, merci beaucoup.