Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

R est ouvert et fermé

Posté par
Nowah
09-09-21 à 20:54

Bonsoir,
Je cherche à montrer que est à la fois ouvert et fermé. Pour le côté ouvert aucun soucis, mais pour le côté fermé je me heurte à un petit problème au niveau des propriétés de l'ensemble vide. Selon moi, toute assertions de la forme :
x P(x)
avec P(x) une propriété quelconque, est vraie, mais j'ai un petit doute sur ce point là.
Pouvez-vous me dire si je me trompe ou non svp

Posté par
WilliamM007
re : R est ouvert et fermé 09-09-21 à 20:58

Bonsoir.

Effectivement, l'ensemble vide est un voisinage de chacun de ses points. Il est ouvert.

Il est aussi vrai de dire qu'il n'existe aucun point dont il est un voisinage. Et pourtant il est quand même ouvert. Sacré ensemble vide...

Posté par
Nowah
re : R est ouvert et fermé 09-09-21 à 20:59

Merci de ta réponse rapide,
J'en conclus donc que toute assertions de la forme
x P(x)
est vraie peu importe P(x), c'est bien ça ?

Posté par
WilliamM007
re : R est ouvert et fermé 09-09-21 à 21:05

Oui.

Posté par
Nowah
re : R est ouvert et fermé 09-09-21 à 21:07

Très bien, merci.
Aurais-tu une démonstration de cette propriété sur l'ensemble vide ou bien est-ce un axiome ?

Posté par
WilliamM007
re : R est ouvert et fermé 09-09-21 à 21:33

C'est une propriété, dont la démonstration repose sur le fait que l'ensemble vide est un ensemble qui par définition ne contient aucun élément.

En effet, la négation de cette propriété serait :

\exists x\in\emptyset,\quad P(x).

En particulier, si la négation était vraie, l'ensemble vide contiendrait donc un élément (qui de plus vérifie P(x), mais on s'en moque). Or par définition de l'ensemble vide, un tel élément n'existe pas. C'est donc que la négation est fausse, donc la première propriété est vraie.

Une variante : la propriété peut se réécrire :


 \\ \forall x,\quad x\in\emptyset\implies P(x)

Or tu as peut-être appris que l'implication a\implies b signifie (\neg a)\vee b (non a, ou b). Ici, quel que soit x, on a donc x\in\emptyset\implies P(x) qui signifie (x\notin\emptyset)\vee P(x), ce qui est trivialement vérifié car on sait que x\notin\emptyset est vrai.

Je reviens sur la définition de l'ensemble vide. Car en effet, on peut se demander s'il existe un tel ensemble. Et s'il en existe un, est-il unique. Cette question est tellement élémentaire qu'elle a effectivement besoin d'axiomes pour y répondre. En théorie des ensembles, l'existence d'un ensemble qui ne possède aucun élément est une conséquence de ce qu'on appelle le schéma d'axiomes de compréhension. Pour faire simple, c'est ce qui te permet de dire que si par exemple \R est un ensemble, alors la collection d'objets \{x\in\R\mid P(x)\} est aussi un ensemble. Pour définir l'ensemble vide, il suffit par exemple de le définir comme \emptyset=\{x\in\R\mid x\neq x\}. Son unicité est garantie par un autre axiome, celui d'extensionnalité, qui dit en gros qu'un ensemble est entièrement caractérisé par les éléments qu'il contient. Donc s'il existe deux ensembles vides \emptyset_1 et \emptyset_2, alors ils possèdent par définition exactement les mêmes éléments (en l'occurence, aucun), donc par cet axiome d'extensionnalité, ils sont en fait égaux : \emptyset_1=\emptyset_2, d'où l'unicité de l'ensemble vide. En espérant ne pas t'avoir trop embrouillé l'esprit avec cette digression...

Posté par
Nowah
re : R est ouvert et fermé 10-09-21 à 14:57

D'accord très bien, merci beaucoup.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1489 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !