Montre que les espaces fermés bornés de R et de C sont compacts.

Pour cela, dans R, on trouve une sous suite monotone.
Dans C, tu peux prendre une sous suite commune pour la partie réelle et une pour la partie imaginaire.

Une fois que tu as ca, c'est gagné.
Car une suite de Cauchy est bornée donc possède une va.
Et une suite de Cauchy + qui possède une va converge.

ok merci
par contre jai pas encore vu les compacts, ya que cette methode?

C'est la seule que je connaisse et probablement aussi la plus rapide.

Pourquoi veux tu montrer que R et C sont complets?
Pour toi(comprehension, etc...)? Dans ce cas, je te préviens : ca ne sert quasiment à rien. Autant admettre.
En exo? Un peu difficile dans ce cas.

PS : tu ne connais peut-être pas compact mais peut-être que tu connais Bolzano-weierstrass et dans ce cas, tu y arriveras quand même.
Partie compacte : A est compact ssi toute suite dans A possède une sous suite convergente vers un élément de A.

prends une suite de cauchy de R ou C. Par Bolzano-Weierstrass, comme ce sont des espaces vectoriels de dimension finie, cette suite admet une sous suite convergente. Or une suite de Cauchy qui admet une valeur d'adhérence converge vers cette valeur. Donc ta suite converge.
R et C sont donc complets.

oki merci a vous deux

Bonjour

Je m'en mêle quand même... On déduit sans problème que C est complet de la complétude de R.

Mais le fait que R est complet... ça dépend essentiellement de la définition de R qui souvent est défini comme le complété de Q!