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Racine carrée d'un nombre complexe
Bonjour. Je voudrais demander l'avis de la communauté au sujet du nombre de solutions qu'admet la racine carrée d'un nombre complexe.
Mon professeur de math me dit qu'elle n'en admet qu'une, en citant l'exemple de la racine carrée d'un réel : sqrt(4) = 2 et non -2. Et la définition d'un complexe i, c'est la rotation d'un réel de 90° dans le plan de Gauss, donc si on fait la racine carrée, on divise l'argument par 2, il est donc de 45°.
Sur internet je vois un peu de tout. Une seule solution, deux solutions... Comment trancher ?
Pour rappeler si besoin est comment on cherche une racine carrée (méthode qui aboutit à deux réponses par ailleurs) :
Chercher sqrt(a+bi)
On pose (x+yi)²=a+bi=x²-y²+xyi
x²-y²=a
2xy=b
x^4 -2x²y² +y^4 + 4x²y²=a²+b² <=> x²+y²= sqrt(a²+b²)
et x²-y²=a
ect... En supprimant les racines carrées, on arrive à
x= + ou - [...]
y= + ou - [...]
Merci d'avance pour vos réponses...
Bonsoir,
Je te conseille de passer de la forme algebrique a la forme exponentielle puis en appliquant que racine carre est equivalent a l exposant 1/2
on trouve la racine carre du nombre complexe
Bonsoir,
je dirais qu'un nombre complexe a non nul a deux racines carrées : les deux solutions de z²-a=0.
On peut décider d'en choisir une de façon systématique, en général celle dont l'argument est dans l'intervalle ]-
/2 ; /2].
Mais la fonction obtenue n'est pas continue, ce qui est un peu gênant.
Mais chacun fait ce qu'il lui plaît. À ma connaissance, il n'y a pas de règle universellement acceptée.
Oui merci c'est une bonne idée. Mais du coup... quand on regarde ça dans ce sens, il n'y a qu'une solution à cette racine carrée ? Puisqu'on a une exponentielle avec arg/2 ?
Verdurin :
Merci mais alors le nombre de solutions à une racine carrée, ça dépend de l'humeur de chacun, si je puis dire ? 
Si on élève au carré, ça change les donnes, mon prof insistait là-dessus... mais je ne sais pas si c'est valable. z²-a=0 et sqrt(a), c'est pas (?) la même chose... enfin on me dit souvent que les carrés sont des crasses parce qu'ils doublent le nombre de réponses.
En fait je demande ça parce qu'au test le prof n'a pas accepté qu'on donne deux solutions.
salut
au sujet du nombre de solutions qu'admet la racine carrée d'un nombre complexe.
... ne veut rein dire ...
on trouve la racine carre du nombre complexe
... ne veut rien dire ...
Mon professeur de math me dit qu'elle n'en admet qu'une
... ou ton prof de math est un bon à rien mauvais en tout ... ou tu retranscris de travers ce qu'il a dit ...
il est évident que pour tout complexe z :
or
donc si
et évidemment
...
Excusez-moi si je ne vois pas en quoi dire que "la racine carrée d'un nombre admet des solutions" et qu'on "trouve la racine carrée d'un nombre" n'est pas du français.
Il faut croire que lui et moi sommes des bons à rien !
Mais si on élève au carré les deux membres, ça double le nombre de solutions, non ?
Pourquoi ne dit-on pas que la racine carrée de 4 admet deux solutions : 2 et -2, Puisque (-2) x (-2) = 4 aussi ?
parce que une machine est programmée pour répondre ce qu'on lui a programmé de répondre ....
au contraire d'un être humain qui possède un cerveau pour penser ...
les quatre dernières lignes de mon précédent post affirment et démontrent que pour tout nombre complexe (non nul) il existe deux nombres complexes opposés dont le carré est ce nombre complexe ... comme dans R ....
Oui, pour le carré d'un nombre, il existe deux racines, je ne le conteste pas. Mais je parle d'une racine carrée. Dans R, à moins que je ne me trompe, la racine carrée d'un nombre ne peut prendre qu'une seule valeur, elle est toujours positive. Pourquoi dans le domaine complexe, ce n'est pas le cas ?
Lorsque je tape "sqrt(i+1)" sur Géogébra, j'obtiens un seul point...
Ce qui veut simplement dire que les gens qui ont écrit Géogébra ont fait un choix.
Celui que je t'ai donné d'ailleurs.
Mais ce choix n'est pas universel.
Excusez-moi si je ne vois pas en quoi dire que "la racine carrée d'un nombre admet des solutions"... n'est pas du français.
Il y a deux "racines" à l'équation z²=Z.
Et Z n'admet qu'une seule "racine carrée", une fois qu'on a défini ce que c'était, comme ton prof l'a fait et comme verdurin l'a précisé.
Il faut croire que lui et moi sommes des bons à rien !
...
Ce qui semble assez probable à te lire...
Pourquoi ne dit-on pas que la racine carrée de 4 admet deux solutions : 2 et -2 ?
.).
La racine carrée est un nombre défini à partir d'un nombre.
C'est une fonction si tu préfères.
Par exemple la racine carrée de 4, c'est 2.
Toi tu fais une confusion avec LES racines de l'équation z² = 4.
Qui effectivement sont au nombre de deux : -2 et +2.
Donc en résumé, tu te fais des nœuds au cerveau pour rien
.
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