Bonjour

Une idée :

Supposons que a soit une racine commune aux deux polynômes.

Alors :


Or :

ainsi :


A terminer

Merci pour la réponse.
J'ai suivi le raisonnement, il est juste mais c'est que 2 n'est pas racine pour les deux donc......

Emtt.

Voila, il y a donc contradiction.

D'accord (raisonnement par l'absurde j'y avais pas penser), merci.
Mais puique j'y suis je me posais une question d'après d'Alembert ce X⁴+X+1 et l'autre aussi ont forcément au moins une racine.
Ce que je me demandais c'est si il existait une méthode permettant de la trouver (car ici elle n'a rien d'évident). C'est juste de la curiosité mais aussi vers quelle année on apprend cette méthode (si elle existe bien sûre!).

Merci.
Emtt.

Evidement qu'il existe une methode.

dans C (d'apres d'Alenbert) le premier polynome a 4 racine, le deuxieme 5.

pour le premier il est degre 4 donc il existe une methode "general" pour trouver ces racines, exactement comme les formule avec le discriminant a l'ordre 2 exepté qu'elles sont absoluement "imbuvable" (et les resultat obtenue aussi d'ailleur...)


pour des polynomes de degree superieur a 5 il n'existe pas de methode general, et il a ete prouvé (il me semble) qu'il etait impossible de resoudre tous les equation du premier degrée par des radicaux. cependant, on peut de facon extrement efficace (Methode de Newton par exemple) trouver de tres bonne aproximatino numerique de ces racines, et dans tous les cas tu peut-faire des calcule avec ces racines du type :

"soit a une racine de X^5+X^2+2" et apres tu continu tes calcules avec a sachant que quand tu voi un a^5 tu peut le remplacer par -a^2-2, exactement comme le calcule qua fait Nightmare.

Merci pour ta réponse Ksilver,
La méthode de Newton (je l'ai pas encore vu). Peut-être l'année prochaine.

Emtt.
PS: Juste pour chipoter il n'y a pas forcément 4 racines selon d'Alembert mais au moins "une", mais avec ces corollaires on peut déduire que si. Car un polynome (non nul) sur C[X] est forcement scinde et que les polynome irreductibles sur C[X] sont les polynomes du premier degré.

Au revoir et merci à Nightmare pour son aide.

oui en effet, "d'apres le corolaire du theoreme de d'Alembert" donc !

Non, il n'y a pas forcément 4 racines, il peut y en avoir moins mais avec une multiplicité supérieure.
Par exemple le polynôme P(x)=3x² ne possède que 0 comme racine bien qu'il soit de degré 2.

Fractal

Une autre façon de procédé est de chercher le PGCD des deux polynômes par l'algorithme d'euclide.

Si tu trouves qu'ils sont premiers entre eux...

"... en comptant les ordres de multiplicité"


... c'est bon cette fois :p ?

Salut à tous,

pour ceux que ca intéresse, voici la méthode du résultant de deux polynomes .

Ca répond facilement à la réponse (mais bon, ca a le défaut de ne pas construire la racine si il y en a bien une commune), et c'est assez joli : http://www.les-mathematiques.net/b/c/e/node9.php3

A plus,

bret

Bonjour,
Merci pour toutes vos réponses, je vais voir ça d'un peu plus prés!

Pour Fractale 3X²=3(X-0)(X-0) donc il y a bien 2 racines mais elle est double.

Au revoir.
Emtt.

La méthode du PGCD était la plus évidente et je l'ai pas vu, en plus en utilisant le PGCD ça colle mieux à mon cours.

Pour l'autre méthode elle doit être bien mais elle aborde les matrices (l'exercice ne laissait pas entendre de les utiliser) et surtout des choses que je n'ai jamais vu (discriminant, résultant, etc.).

Merci.
Emtt.