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racine de polynôme
Bonjour à tous...
J'ai un petit exercice d'oral à faire mais je ne vois pas du tout comment le résoudre...
Voici l'énoncé :
Soit P(X) = X^3 + X + 1 et Q le polynôme de degré 3 tel que Q(0) = -1 et dont les racines sont les cubes des racines de P.
Calculer Q(-1).
(indication : Si a est racine de P, que vaut a^3 en fonction de a?? )
Voilà, si vous avez des idées...je suis preneur.
Merci.
Salut 
Bah on utilise l'indication et c'est réglé :
On note a, b et c les racines de P. P=(X-a)(X-b)(X-c)
et
Déjà :
Or, si on développe P (ou qu'on connait son cours tout simplement) on a que
d'où
on en déduit que k=-1
De plus
Or (même chose pour b et c)
D'où :
Et on en déduit :
Bonjour,
Le produit des racines de P vaut -1 donc le produit des cubes des racines de P vaut -1 . Or si a,b,c sont les racines de P , (X-a3)(X-b3)(X-c3)) prend la valeur -1 en X =0 , donc c'est lui le polynôme Q .
Reste à calculer ses coefficients.
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