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Racine n-ième d'un nombre complexe non nul.

Posté par
matheux14 29-06-21 à 19:05

Bonsoir ,

Merci d'avance.

Soit T un nombre nombre complexe non nul de module r et d'argument \theta et n un entier naturel tel que n~\ge ~2.

On considère l'équation ((E)~:~z^{n}=T.

1) Démontrer que si z est solution de (E) alors arg(z) = \dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n} , avec k~\in ~ \Z et |z|=\sqrt[n]{r}.

2) Démontrer que \forall k ~\in ~\Z , z_{k}=\sqrt[n]{r}e^{i\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)} est solution de (E).

3) Soit M_k le point image de z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)}.

Démontrer que l'angle orienté \left(\vec{OM_{k}}~;~\vec{OM_{k+1}}\right) est indépendant de l'entier relatif k.

4) Résoudre alors l'équation z^{4}=2(-1+i\sqrt{3}) et écrire chacune des solutions sous forme algébrique.

Réponses

1) Soit les nombres complexes z=re^{i\theta} et T=\rho e^{i\alpha}

z^{n}=T \iff \begin{cases} \rho=\sqrt[n]{r} \\ \alpha=\dfrac{\theta}{n} \left[\dfrac{2\pi}{n}\right]\end{cases}

Ainsi \alpha=arg(z)=\dfrac{\theta}{n} \left[\dfrac{2\pi}{n}\right]

2) Est ce que le fait que z^{n}=T \iff \begin{cases} \rho=\sqrt[n]{r} \\ \alpha=\dfrac{\theta}{n} \left[\dfrac{2\pi}{n}\right]\end{cases}

==> T admet n racines n-ièmes ; c'est à dire que  z_{0}=\sqrt[n]e^{i\dfrac{\alpha}{n}} , z_1 = \sqrt[n]e^{i\left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2\pi}{n}}\right) , ... , z_{k}=\sqrt[n]{r}e^{i\left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)} ?

J'avoue que j'ai un peu parachuté

Posté par
carpediemre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 29-06-21 à 19:18

salut

je ne comprends pas pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple :

1/ un peu rapide ...

z^n = T \iff r^ne^{int} = \rho e^{i\theta} \iff ...

et justifier l'étape qui te permet de passer au résultat ...

2/ je calcule simplement z_k^n ...

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 29-06-21 à 20:04

1) J'ai pas compris..

C'est bien ce que je devais non ?

Posté par
matheuxmatoure : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 29-06-21 à 23:56

la question 1 est une implication

la question[/b] 2 est la [b]réciproque

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 12:10

Ok , donc ce que je fesais était bon non ?

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 18:34

3)

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 18:41

Bonjour matheux14
tu as tout mélangé au niveau des notations en réalité
on te dit
Soit T un nombre nombre complexe non nul de module r et d'argument \theta et n un entier naturel tel que n~\ge ~2.

et toi tu les appelles et , tu as tout interchangé

mais sinon, tu dois seulement mettre un et non ,et si tu ne te trompes pas dans les notations, tu sais faire

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 18:43

le jour du bac, lis bien les notations !

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 18:52

OK

3) Je n'ai pas bien compris l'énoncé.

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 19:13

3)
tu sais exprimer une mesure de cet angle avec les arguments...

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 19:31

\left(\vec{OM_{k}}~;~\vec{OM_{k+1}}\right)=Arg\left(\dfrac{z_{M_{k+1}}}{z_{M_{k}}}\right) , z_{O} étant nul.

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 19:46

oui, égal la différence des arguments à 2pi près
poursuis...

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 21:03

Ce qui me dérange , c'est

Citation :
3) Soit M_k le point image de z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)}.

Par quelle transformation du plan ?

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 30-06-21 à 21:06

par aucune...
c'est comme quand on te dit, soit A le point d'affixe i
on pourrait dire soit A le point d'affixe 1e^{i\frac{\pi}{2}}
il n'y a pas de transformation là dedans
on te positionne le point par la connaissance de module et argument, c'est tout
OK ?

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 05:34

Ah ok , donc z_{M_{k}}=z_k=\sqrt[n]{r}e^{i\left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)} k\in \Z

k étant une constante ; z_{M_{k}} ne dépend pas de k.

Du coup z_{M_{k+1}} ne dépend pas de k.

On en déduit ainsi que \left(\vec{OM_{k}}~;~\vec{OM_{k+1}}\right)=Arg\left(\dfrac{z_{M_{k+1}}}{z_{M_{k}}}\right) est indépendant de k.

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 07:45

taratata...
dans l'écriture de z_{M_k}...il apparaît la lettre k dans l'expression de l'argument, non ? ...donc z_{M_k} n'est pas indépendant de k ....
que vaut arg( z_{M_k}) ? que vaut arg( z_{M_{k+1}) ?

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 12:24

\left(\vec{OM_{k}}~;~\vec{OM_{k+1}}\right)=Arg\left(\dfrac{z_{M_{k+1}}}{z_{M_{k}}}\right)\equiv \dfrac{2\pi}{n}[2\pi]

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 12:46

tout simplement

Posté par
tanxre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 14:08

Bonjour,
Dans la 1ère réponse, les angles alpha et theta sont inversés. Il faut lire:
Theta=alpha/n

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 14:37

Oui , c'est bien ce que malou me disais le   30-06-21 à 18:41.

malou tu pourrais me donner la rédaction complète de la question 3) s'il te plaît ?

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 15:30

4) S_{\C}=\left\{\sqrt{2}e^{i\dfrac{\pi}{6}}~;~\sqrt{2}e^{i\dfrac{2\pi}{3}}~;~\sqrt{2}e^{i\dfrac{7\pi}{6}}~;~\sqrt{2}e^{i\dfrac{5\pi}{3}}\right\}

S_{\C}=\left\{\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)~;~\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)~;~\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)~;~\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)\right\}

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 16:21

parce que c'est toi
\left(\vec{OM_{k}}~;~\vec{OM_{k+1}}\right)=arg\left(\dfrac{z_{M_{k+1}}}{z_{M_{k}}}\right)=arg z_{M_{k+1}}-arg z_{M_{k}}[2\pi] \\ {\phantom{\left(\vec{OM_{k}}~;~\vec{OM_{k+1}}\right)}=\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2(k+1)\pi}{n}- \left(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)[2\pi] \\ \\ \\ {\phantom{\left(\vec{OM_{k}}~;~\vec{OM_{k+1}}\right)}= \dfrac{2\pi}{n} \text{modulo }2\pi
valeur indépendante de k

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 16:29

pour la 4) sur une copie bac, annoncer les résultats ne sera pas suffisant
et la 2e ligne ne représente pas les formes algébriques, attention...c'est encore une forme trigo ça

Posté par
matheux14re : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 17:20

Soit T=2(-1+i\sqrt{3}) ; |T|=4 et Arg(T)=\dfrac{2\pi}{3} et \rho=|z| ; \theta =Arg(z)

z^{4}=2(-1+i\sqrt{3}) \Rightarrow \begin{cases} \rho ^4 =4 \\ 4\theta=\dfrac{2\pi}{3}[2\pi] \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \rho=\sqrt{2} \\ \theta=\dfrac{\pi}{6}[\dfrac{\pi}{2}] \end{cases}

Les solutions de z^{4}=2(-1+i\sqrt{3}) sont de la forme : z_k =\sqrt{2}e^{i\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\right)}

Pour k=0 ; z_{0}=\sqrt{2}e^{i\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Pour k=1 ; z_1=\sqrt{2}e^{i\dfrac{2\pi}{3}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{6}}{2}

Pour k=2 ; z_2=\sqrt{2}e^{i\dfrac{7\pi}{6}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Pour k=3 ; z_3=\sqrt{2}e^{i\dfrac{5\pi}{3}}\right\}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{6}}{2}

\Large{S_{\C}=\left\{\dfrac{\sqrt{6}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{6}}{2}~;~-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right\}}

Bonne soirée

Posté par
malou Webmasterre : Racine n-ième d'un nombre complexe non nul. 01-07-21 à 17:37

et comme tu as 4 racines, tu as là les 4 sommets d'un carré
si tu avais une équation du même type ayant 6 racines, tu obtiendrais un hexagone régulier
voilà, bonne soirée à toi aussi


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