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racine p ieme

Posté par
aya4545 30-12-22 à 22:13

bonsoir
priere m orienter pour achever ce probleme

dans ce probleme x_0 designe un reel strictement  positif et p un entier superieur ou egale a 2 fixés
on etablit l existence de la fonction racine p ieme , il est donc interdit d utiliser cette fonction ,ainsi que l exponentielle , les logarithmes ou le th de bijection .
\Gamma=\{y \in \R    /y^p\leq x_0\}

1)montrez que \Gamma \neq \no \emptyset
2a)mq (1+x_0)^p\geq 1+px_0
b)en deduire que \Gamma est majoré par 1+x_0 que peut on conclure
on note c=\sup (\Gamma)    u_n =c(1-\frac 1 n)     v_n  =c(1+\frac 1 n)      
3)a)montrez que   x_0 \in \Gamma ou bien   \frac 1{x_0} \in \Gamma
b) en deduire que c>0
c)justifier l existence d un reel a_n \in \Gamma tel que u_n<a_n\leq c
4)a)justifier que v_n^p>x_0
b) en deduire que c^p=x_0
Par definition le reel c est appelé racine pieme de x_0 (c=\sqrt[p]{x_0})
5)soient B et C deux parties de \R   non vides tel que B\subset Cavec C majorée montrez donc que B est majorée et que \sup B\leq \sup C
c) en déduire que la fonction racine pieme est strictement croissante sur ]0,+\infty[
6)en revenant à la definition montrez que \Gamma est un intervalle
7) montrez que \Sigma =\{\sqrt[p]{r} /r \in \Q^+ \} est dense dans \R^+


ce que j ai fait
1) 1\in \Gamma \implies \Gamma \neq \emptyset
2) a)inégalité de Bernouli ( on peut la montrez par recurence)
b)   soit y \in \Gamma   si y\geq 0 \implies  y \leq y^p\leq x_0\leq 1+x_0
si y\leq 0 alors y\leq 1+x_0    (x_0>0)
\Gamma \neq \emptyset et majorée donc bornée
3)a) si 0<x_0<1 \implies  x_0^p\leq x_0   donc  x_0 \in \Gamma
si x_0>1 \implies \frac 1{x_0} <1 ...
b)c\geq x_0>0
c)on utilise  th de la borne sup
je suis coincé dans d) montrez que c^p\leq x_0
et merci

Posté par
carpediemre : racine p ieme 30-12-22 à 22:50

salut

1/ et si x_0 = 1/2 ?

Posté par
aya4545re : racine p ieme 30-12-22 à 23:00

bonsoir
merci carpediem
0\in \Gamma \implies \Gamma \neq \emptyset

Posté par
aminejanre : racine p ieme 31-12-22 à 00:25

Bonjour aya
Pour la question d, tu peux utiliser l encadrement d avant, en elevant a la puissance p, a est un element de l ensemble, alors a^p<=x0
Tu auras donc Un^p < a^p <=x0 ==> Un^p <x0 (une egalite stricte peut devenir large) donc Un appartient a l ensemble souhaité.
Pour montrer que c^p<=x0, il suffit de tendre la suite Un a l infini, alors c^p*(1-1/n) -----> c^p, d ou le resultat souhaite.

Posté par
aya4545re : racine p ieme 31-12-22 à 09:06

bonjour
merciaminejan
la premiere partie de d) je l ai faite pour la seconde je n ai pas pensé de tendre n \to +\infty une autre fois merci et bonne journée

Posté par
aya4545re : racine p ieme 31-12-22 à 11:24

bonjour
je bloque toujours dans     5) b)    et7)      
et merci

Posté par
carpediemre : racine p ieme 31-12-22 à 11:52

le pb c'est que ton énoncé n'est pas clair :

tu nous parles de 3d/ : on ne le voit pas

tu nous parles de 5b/ : on ne voit que c/ donc qui est a/ ? b/ ?

Posté par
aya4545re : racine p ieme 31-12-22 à 13:35

je m excuse

pour  3)

3)a)montrez que   x_0 \in \Gamma  ou bien   \frac 1{x_0} \in \Gamma
b) en deduire que c>0
c)justifier l existence d un reel a_n \in \Gamma tel que u_n<a_n\leq c
d)en deduire  u_n \in \Gamma  \text{puis que }\quad  c^p\leq x_0


pour 5)

5)soient B et C deux parties de \R   non vides tel que B\subset Cavec C majorée
a)montrez donc que B est majorée et que \sup B\leq \sup C
b) en déduire que la fonction racine pieme est strictement croissante sur ]0,+\infty[

Posté par
aya4545re : racine p ieme 31-12-22 à 14:35

pour 5)b)
soient x ,y >0 tel que x<y
posons \Gamma _1=\{t\in \R^+  / t^p \leq x\}
\Gamma _2=\{t\in \R^+  / t^p \leq y\}

ona \Gamma _1 est strictement inclu dans \Gamma _2 et par suite  \sup  \Gamma _1\leq  \sup  \Gamma _2
donc     \sqrt[p]{x} \leq \sqrt[p]{y}
reste a  mq   \sqrt[p]{x} <\sqrt[p]{x} cad \sqrt[p]{x} \neq \sqrt[p]{x} sinon x=y absurde

Posté par
carpediemre : racine p ieme 31-12-22 à 17:06

la dernière phrase est inutile ... en traduisant exactement ce que veut dire G_1 strictement inclus dans G2

Posté par
aya4545re : racine p ieme 31-12-22 à 17:24

Bonjour
merci carpediem
pour la derniere question
soit r \in \Q^+ puisque  \Q^+ est dense dans \R^+ donc il existe x y \in \R^+  \quad x<r<y  or on a montré que la fonction racine pieme est strictement croissante sur \R^+ \implies  \sqrt[p]{x}<\sqrt[p]{r}<\sqrt[p]{y}


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