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Racines carrées d'un nombre complexe .
Bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide pour un exercice 
Le voici : 1. On considère l'équation(E) z²=-9-40i.
a) On pose z=a+ib avec a et b réels . Demontrer que z est solution de (E) si et seulement si le couple (a,b) est solution du système : (S) : a²-b²=-9 ; a²+b²=41 ; ab= -20 . ( pour l'équation a²+b²=41, on considèrera module z² )
b) Résoudre (S). en deduire les solutions de (E).
2. Résoudre dans 
, l'équation u^4+18u²+1681=0.
3. On se propose de résoudre l'équation(E') à coefficients complexes : (E') : z^3+(3+2i)z²+(8+46i)z+24+120i=0 .
a) Démontrer que (E') a une solution réelle 
.
b) On pose P(z)=z^3+(3+2i)z²+(8+46i)z+24+120i. Démontrer qu'il existe deux nombres complexes v et w tels que P(z)=(z-)(z²+vz+w).
c) Ecrire le polynome z²+vz+w sous sa forme canonique.
d) En deduire les solutions dans de l'équation (E').
J'ai répondu à la 1 & 2 . La 1 je trouve z=4-5i ou z=-4+5i. Pour la 2 je trouve ( en posant U=u²) U1=4-5i ou U2=-4+5i.
A partir de la 3 je bloque, pouvez vous m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance .
Bonjour,
3,a)
Ecris (E') sous la forme :
z3+3z²+8z+24 + i(2z²+46z+120) = 0
S'il existe une solution réelle a (plus facile à écrire que alpha), alors elle satisfait à la fois à :
2a²+46a+120 = 0
et à :
a3+3a²+8a+24 = 0
D'où la méthode :
- cherche les deux racines réelles a1 et a2 de 2x²+46x+ 120 = 0
- une de ces deux racines doit aussi satisfaire à x3+3x²+8x+24 = 0
C'est cette racine qui sera le alpha que tu cherches
3,b)
Développe le produit et détermine v et w par identification
D'accord, donc il faut que je calcule le discriminant , mais comment fait on pour le calculer dans la 2eme equation ?
Mmmm...
2x²+46x+ 120 = 0
x²+23x+60 = 0
= 23²-4*60 = 289
289 = 17
a1 = (-23-17)/2 = -20
a2 = (-23+17)/2 = -3
Bonne nouvelle, elles sont toutes les deux entières
A tester comme solution de x3+3x²+8x+24 = 0
Je te laisse faire
Ah oui ! Je trouve alpha = -3 . C'est ça ?
Par contre pour la question suivante je ne voit pas comment il faut faire, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Effectivement, -3 est la bonne solution
On te propose maintenant d'écrire P(z) sous la forme P(z)=(z-)(z²+vz+w), donc :
(z-)(z²+vz+w) = z^3+(3+2i)z²+(8+46i)z+(24+120i)
avec = -3
Tu développes à gauche, et tu identifies les coefficients des mêmes puissances de z à gauche et à droite, ça va te donner 4 équations à 2 inconnues v et w, dont tu dois pouvoir déduire v et w
Essaye, poste tes résultats, et on en reparle
Tu y es presque... Tu peux simplifier par les puissances de z, et il vient :
1 = 1
v+3 = 3+2i
w+3v = 8+46i
3w = 24+120i
Ouvlie la première, tire v de la deuxième, w de la quatrième, et vérifie que c'est bien compatible avec la troisième
Oui , donc je trouve v = 2i et w = 8 + 40i c'est bon ?
Est ce que la forme canonique de z²+vz+w = [(z+v/2)²-(v²-4w/4)] ?
En fait, pour que je ne t'induise pas en erreur, il vaudrait mieux que je te dise : voyons comment tu vas trouver une racine de = (v²-4w)/4...
Indication : il y a parfois au début des problèmes des questions dont on se demande quel rapport elles ont avec la suite, et on le découvre tout à la fin 
Mmmm... Tu dois avoir une p'tite erreur de calcul qqe part.
(v²-4w)/4 = (-4 -32-160i)/4 = -9-40i
Et là ça commence à ressembler furieusement à l'équation (E), partie 1) du problème 
Ah oui tiens comme par hasard ^^
Du coup on retrouve les 2 mêmes solutions qu'au 2) z1= 4-5i et z2=-4+5i ?
Presque, mais pas tout-à-fait...
N'oublie pas que tu cherches en fait les solutions de z²+vz+w = 0
Tu as trouvé la forme canonique [(z+v/2)²-(v²-4w/4)]
Tu as posé = (v²-4w)/4 = -9-40i
tu en a déduis = 4-5i, au signe près
maintenant tu dois finir la résolution de l'équation z²+vz+w = 0...
Non...
choisis une des deux déterminations de , peu importe, par exemple = 4-5i
Les solutions sont alors :
z1 = -v/2 +
z2 = -v/2 -
En fait le truc que je comprends pas c'est pourquoi on a z1= -v/2+ alors que normalement la formule c'est (-v+i-)/2 non ?
Ca serait vrai si on avait posé = v²-4w, mais ici on a posé = (v²-4w)/4, donc le 1/2 est directement dans la définition de notre . C'est effectivement piègeux, il aurait fallu utiliser une autre notation :
[(z+v/2)²-(v²-4w/4)] = 0
Je pose 
= (v²-4w/4), l'équation devient :
[(z+v/2)² - ] = 0
[(z+v/2)² - ()²] = 0
= 4-5i au signe près
et les solutions sont -v/2 + et -v/2 -
C'est plus clair comme ça ?
Nooonnn...
v = 2i, donc -v/2 = -i
= 4-5i
donc
-v/2 + = -i + (4-5i) = 4-6i
-v/2 - = -i - (4-5i) = -4+4i
et ne pas oublier = -3
D'accord ! Je suis perdue avec tout ces messages, pourrait tu m'aider pour la redaction de cette derniere question, histoire d'avoir une rédaction correcte ?
OK, on reprend un peu plus haut :
Ayant démontré que -3 est solution z^3+(3+2i)z²+(8+46i)z+(24+120i) = 0, on, cherche v et w tels que :
(z+3)(z²+vz+w) = z^3+(3+2i)z²+(8+46i)z+(24+120i)
On développe à gauche
Par identification des mêmes puissances de z à gauche et à droite, on arrive à v = 2i et w = 8 + 40i
On cherche alors les racines de z²+vz+w = 0
On met z²+vz+w sous la forme canonique z²+vz+w = (z+v/2)²-(v²-4w)/4)
On pose = (v²-4w)/4
On doit donc résoudre (z+v/2)²- = 0, ou (z+v/2)²=
On cherche alors une quantité telle que soit le carré de cette quantité, on peut l'appeler en gardant bien à l'esprit qu'on parle de racine carrée d'un nombre complexe.
Il y a alors deux solutions :
z1 + v/2= +
z2 + v/2= -
soit encore
z1 = - v/2 +
z2 = - v/2 -
reste à trouver
On a = (v²-4w)/4 = -9-40i
On reconnait la première partie du problème : (-9-40i) = 4-5i ou -4+5i
Donc
-v/2 = -i
z1 = -i + (4-5i) = 4-6i
zé = -i - (4-5i) = -4+i
Ca va comme ça ?
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