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Racines n-ièmes d'un complexe

Posté par
LOUETTEO 21-01-19 à 19:08

Un exercice de terminale me pose un sérieux problème. Pourriez-vous m'aider, SVP?

Partie A. Premiers exemples
1. Déterminer dans C les racines carrées des nombres suivants : 25, -81 et -2
J'ai trouvé 5 ou -5, 9i ou -9i et 2 i ou -2 i

2. Trouver dans C les 4 racines quatrièmes de 1
J'ai trouvé 1, -1, i, -i

3. Montrer que les racines carrées de 3+4i sont -2-i et 2+i
(-2-i)2= (4-2(-2)(i) + i2= 4 + 4i - 1 = 3 + 4i
(2+i)2= 4 + 2(2)(i) + i2= 4 + 4i - 1 = 3 + 4i

Je ne suis pas sûre de moi mais j'ai quand même fait la partie A

Partie B
On cherche ici les nombres complexes r tels que r2=-2-2i (E)
On peut remarquer que 0 n'est pas solution de l'équation ci-dessus, donc 0 n'est pas une racine carrée de -2-2i
1. En utilisant la forme exponentielle :
Si r est une solution (on a donc r0), on écrit r sous forme exponentielle : r=mei (m+ et )
Trouver toutes les solutions possibles de l'équation (E) sous forme exponentielle, et vérifier qu'elles conviennent.
z=-2-2i
/z/ = (-2)2+(-2)2=4+4=8=22

arg z=
cos=a/r=-2/22=-2/2
sin=b/r=-2/22=-2/2

=-3/4

z=22 e-i3/4

A partir de là je suis bloquée...

2. En utilisant la forme algébrique :
On pose r=x+iy avec x et y réels non simultanément nuls; résoudre le système obtenu à partir de l'équation (E).

3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs de cos(3/8) et sin (3/8)

Partie C. Racines cinquièmes de l'unité
On cherche donc maintenant les nombres complexes tels que r5=1
1. Déterminer les racines cinquièmes de l'unité, donner leur écriture algébrique.
2. Calculer la somme des racines cinquièmes de l'unité
3. Représenter dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé d'unité 4 cm les points Ai (i entier entre 1 et 5) d'affixes respectives les racines cinquièmes de l'unité.
Quelle est la nature du polygone A1A2A3A4A5?

Merci pour votre aide.

Posté par
Zormuchere : Racines n-ièmes d'un complexe 21-01-19 à 19:39

Bonsoir

Soit r = x+iy
exprime r^2 en forme algébrique

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 10:54

Merci pour la piste pour la question 2 mais je n'ai pas encore trouvé les solutions possibles sous forme exponentielle et je ne vois pas comment faire.

Merci pour votre aide

Posté par
sanantonio312re : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 11:01

Bonjour,
Tu en es à z=22e-i3/4
Et tu dois trouver r tel que r2=z
Tu en déduis |r|=... et arg(z)=...

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 11:14

J'ai donc fait r2=z ce qui donne
m2ei2=22e-i/4
Donc m=22 et =-3/8+k

Je trouve donc les deux solutions suivantes r=22ei5/8
et r=22ei13/8

Est-ce juste ou pas?

Posté par
sanantonio312re : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 12:57

Oui.
Attention à la notation du module.
C'est (22) ou \sqrt{2\sqrt{2}}
Car 22 peut être interprété comme 22 qui fait 2

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 18:12

Oui oui bien sûr...  C'est ce que j'ai trouvé : désolée pour l'approximation de l'écriture.

Par contre, je n'arrive pas à trouver avec la forme algébrique.
J'ai bien calculer r2 et j'ai trouvé r2=x2+2ixy-y2

Puis j'ai essayé de résoudre le système suivant :
x2+y2=-2
xy=-1

mais je n'y arrive pas...

Pourriez-vous m'aider?
Merci

Posté par
sanantonio312re : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 19:54

C'est plutôt:
x2+y2=-2
xy=-2
De la deuxième équation, tu tires y=-2/x (ou bien x=-2/y si tu préfères)
Tu remplaces dans la première équation et tu devrais arriver à une équation bicarrée.

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 20:46

Je ne comprends pas pourquoi puisque r=-2-2i
Du coup 2ixy=-2i
Donc xy=-1

Et effectivement j'avais écrit y=-1/x donc x2-1/x2=-2

Donc (x4-1)/x2=-2

x4+2x2-1=0

Et ça, je ne sais pas le résoudre.

Posté par
Priamre : Racines n-ièmes d'un complexe 22-01-19 à 21:07

C'est une équation bicarrée . . . .

Posté par
sanantonio312re : Racines n-ièmes d'un complexe 23-01-19 à 09:19

Tu poses y=x²
Tu résous l'équation du second degré en y
Tu en déduis le valeurs possibles de x

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 23-01-19 à 11:19

J'obtiens donc =8

donc y1=1+2
et y2=1-2

Avec y=x2 cela donne x1=(1+2)
et x'1=-(1+2)

Avec la racine négative je ne suis pas sûre de moi. Est-ce?
x2=(1-2)i et x'2=-(1-2)i

Comment puis-je en déduire les valeurs de cos(3/8) et sin(3/8)?

Merci

Posté par
carpediemre : Racines n-ièmes d'un complexe 23-01-19 à 11:24

salut

sanantonio312 @ 22-01-2019 à 19:54

C'est plutôt:
x2+y2=-2 n'a surement pas de solution !!!
xy=-2
De la deuxième équation, tu tires y=-2/x (ou bien x=-2/y si tu préfères)
Tu remplaces dans la première équation et tu devrais arriver à une équation bicarrée.

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 23-01-19 à 11:35

Je ne comprends toujours pas pourquoi xy=-2???

Pourriez-vous m'expliquer?

Posté par
carpediemre : Racines n-ièmes d'un complexe 23-01-19 à 11:35

il faudrait travailler avec un peu plus de rigueur

z^2 = -2 - 2i \iff x^2 - y^2 + 2ixy = -2 - 2i \iff \left\lbrace\begin{matrix} x^2 - y^2 = -2\\ xy=-1 \end{matrix}\right.

de plus z^2 = -2 - 2i => |z|^2 = |-2 - 2i| \iff x^2 + y^2 = 2 \sqrt 2

or x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (x - y)^2 + 2xy

donc on en déduit :

(x + y)^2 = 2\sqrt 2 - 2 \\ (x - y)^2 = 2 \sqrt 2 + 2

x + y = \pm \sqrt {2 \sqrt 2 - 2} \\ x - y = \pm \sqrt {2 \sqrt 2 + 2}

de plus le quadrant dans lequel se trouve géométriquement -2 - 2i permet de préciser de façon unique quel signe choisir ...

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 23-01-19 à 11:53

-2-2i se trouve dans le quadrant ,3/2

Donc x+y=-(22-2)

Mais qu'en est-il de x-y?

Posté par
LOUETTEOre : Racines n-ièmes d'un complexe 25-01-19 à 14:20

Grâce à votre aide, j'ai trouvé deux solutions éventuelles pour x et y.

x=[((2(2)-2)-((2(2)+2)]/2 ou x=[-((2(2)-2)-((2(2)+2)]/2

y=[((2(2)-2)+((2(2)+2)]/2 ou y=[-((2(2)-2)+((2(2)+2)]/2

Est-ce que je fais fausse route ou est-ce juste?

Et si c'est juste comment puis-je en déduite la question  3 à savoir les sin et cos de 3/8?

Merci pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Racines n-ièmes d'un complexe 25-01-19 à 15:30

ça semble raisonnable ... une fois vérifié la cohérence des signes suivant le quadrant où se trouve z

tu as z sous forme algébrique ...

il suffit de l'écrire sous forme trigonométrique et d'identifier les parties réelles et imaginaires ...

Posté par
Priamre : Racines n-ièmes d'un complexe 25-01-19 à 15:36

z² = - 2 - 2i se trouve dans le 3ème quadrant. Mais  z  ?

Posté par
carpediemre : Racines n-ièmes d'un complexe 25-01-19 à 15:38

de toute façon deux nombres opposés ont même carré ... donc z n'est pas unique ...


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