Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

racines n-ièmes d'un nombre complexe

Posté par
bouchaib 19-04-21 à 16:24

bonjour,
  
exercice :

donner les racines  du polynôme complexe suivant suivant ,

p(z)=z^{7}+z^{4} +z^{3}+1,
j'ai factorisé le polynôme complexe, cela donne p(z)=(z^{4}+1)(z^{3}+1),
(remarque j'ai factorisé par tâtonnement; y-a-t-il une méthode rigoureuse pour factoriser un polynôme complexe),
Après, j'ai voulu cherché les racines n-ièmes de chaque terme  complexe de ce produit, j'ai buté sur un premier problème : z^{3}+1=0\Leftrightarrowz^{3}=-1=e^{i\pi (cas 1)
ou il me faut écrire ceci : z^{3}= -1=e^{-i\pi}       et pourquoi s'il vous plait.(cas 2).


z^{3}=-1\Leftrightarrow z=e^{i(-\frac{\pi}{3}; \frac{2k\Pi }{3})}, k\in \left\{0; 1; 2 \right\} (ceci si doit choisir le cas 2)
Merci par avance.


  


Posté par
bouchaibre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:26

pardon cas 1 il n'y a pas de 03 !
Merci encore.

Posté par
bouchaibre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:37

j'ai tout brouillé pardon je rédige le cas 1 en entier :
  
z^{3}+1= 0 \Leftrightarrow z^{3}=-1 =e^{i\pi}
merci de votre compréhension.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:42

Bonjour,
Pour factoriser P(z) sans trop tâtonner, on peut remarquer que
P(z) = z4(z3+1) + z3+1
Il n'y a pas de méthode spécifique pour factoriser dans .
Le "plus" par rapport à , c'est -1 = i2 qui permet par exemple de factoriser z4 + 4.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:45

Pour résoudre zn = k, avec k non nul :
Commencer par écrire k sous forme exponentielle.
Remarquer que 0 n'est pas solution.
Chercher z sous forme reit.

Posté par
bouchaibre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:46

merci et pour le reste ? le problème de :
  e^{i\pi}     ou       e^{-i\pi} !

Posté par
carpediemre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:48

salut

z^4 + 1 = (z^2)^2 - i^2 = ... peut encore se factoriser ...

z^4 + 1 = (z^2 + 1)^2 - 2z^2 = ... peut encore se factoriser ...

mais ici le plus simple est d'utiliser la deuxième méthode z^n = -1 = e^{i\pi} comme tu l'as fait ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:48

C'est le même complexe écrit autrement.
Choisit celui qui te plait le plus.

Il n'y a pas de "cas1" cas2".

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:49

Choisis

Posté par
bouchaibre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:50

merci beaucoup à vous tous .

Posté par
alwafire : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:51

Bonjour,

*) les racines du polynome  p(z)  sont les solutions de l'équation  p(z)=0

*) pour factoriser  p(z) ,  remarquer que  z^7 + z^4 = z^4 ( z^3 + 1)

Posté par
alwafire : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 16:55

Bonjour  Sylvieg et Carpediem

Posté par
Sylvieg Moderateurre : racines n-ièmes d'un nombre complexe 19-04-21 à 17:02

Bonjour alwafi,
Nous sommes déjà deux à répondre à bouchaib. C'est largement suffisant pour le moment.
Si tu veux rajouter des remarques que tu penses intéressantes, attends que les pistes proposées aboutissent, et ne répète pas ce qui a déjà été écrit.

Citation :
Pour factoriser P(z) sans trop tâtonner, on peut remarquer que
P(z) = z4(z3+1) + z3+1


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !