Bonjour,

racines primitives nièmes n'a pas de sens ... racines nièmes oui.

Elles sont toutes de la forme pour (enfin pour 2, pareil avec 4 5 etc)

Ben tu prends une racine primitve n-ième de l'unité et c'est alors ou k=2...6

Bonjour a vous deux au fait!

salut Rodrigo

bon après une tite recherche racine primitive existe donc mea culpa

question bonus : et pour -2 ?

pourquoi c'est k^(1/n)*ksi??

ah ok pardon

mais dis donc c'est pas du cours ça ?

et lorsque on me demande pour 3 et 4?

(oui dsl j'avais pas vu le k=2..6

remplace par ,

Et pour -2 comment on fait ?

3 et 4 ne peuvent pas avoir de racines primitives nieme en commun, si?

Ba euh non.

Si on suppose une racine commune, on l'élève à la puissance n et on peut trouver 2 résultats différents

pour -2 c'est la meme chose tu résouts z^n=-2 en passant a lexponentielle ça va tout seul...

ok merci

une autre petite question, en posant phi(n)(X)= PRODUIT (X-l), l étant une racine primitive nieme de lunité, on me demande de calculer
phi(n)(X) lorsque n est entre deux et 6.
(Il faut que je me tape tous les calculs des racines primitives 2em 3em...6eme de l'unité?, ou il y a une feinte?)

Tu peux détailler pour -2 s'il te plait ?

Y a une feinte.

Mets l'arc moitié en facteur dans X-l

-2=2 exp(i*pi) et tu poses z=exp (i*téta) tas module de z=racine nieme de 2 et arg =pi modulo 2pi/n ...

euh.... je vois pas^^

Ok pour -2 !

ton produit n'est pas indexé si ?

c'est a dire?

Ba euh ?

Tu n'as que \phi_2 et \phi_3 et \phi_5 a calculer à partir de la formule...Tu endduis facilement \phi_4 et 6

on a (phi 4)²=phi 2?
et   (phi 6)²=phi 3?
( en calculant les racines primitives de lunité jobtiens:
pour 2: -1
pour 3:j et j²
pour 4:i et -i
pour phi 5: exp(2ipi/5) exp(4ipi/5) et leur conjugués
pour phi 6: exp(ipi/3) et exp(-ipi/3)

Pour un nombre premier tu as que

d'ou sors tu cette égalité?

Il y a plein de façon de le voir tu peux remarquer que le polynome en question est d'Eisenstein (en fait en le calculant en T+1, donc irréductible et divise le polynôme cyclotomique qui est lui aussi irréductible (mais je doute que ce raisonnement te soit possible en sup).

Plus élémentaire (mais moins profond) tu peux juste remarquer que si p est premier alors toutes les racines de p-ièmes de l'unité sont primitives (sauf 1 bien sur)

si je résume,on a PRoduit Phi(n) (X) (2=<n=<6)=(X²-1)/(X-1)*(X^3-1)/(X-1)*(X-i)(X+i)*(X^5-1)/(X-1*(X-e(ipi/3))(X+e(ipi/3)
                      
                                              =(X+1)(X²+1)(X²+X+1)(X^4+X^3+X^2+X+1)(X²-e(2ipi/3))

J'ai rien compris..calcule d'abord \phi_2,3 et 5, et dis moi combien tu trouve, c'est trivial grace a la formule que je t'ai donnée.

ben c'est ce que jai mis: phi_2=(X+1)
                          phi_3=(X²+X+1)
                          phi_5=(X^4+X^3+X^2+X+1)

Le seul que tu auras a calculer vraiment a la main en fait c'est \phi_6, mas de toute façon ils se calculent tous (pour k=1...6) tres bien a la main...

Oui pour phi_2,3 et 5.

phi_4=(X²+1)
et phi_6=X²-exp(2ipi/3)

Phi_4 est bon pas phi_6...

oui ça fait X²-X+1 je me suis trompé cest le conjugué

C'est ca...

merci pour tout

Juste un petit truc rodrigo comment tu démontres que phi_p = (X^p-1)/(X-1) avec p premier

en fait le but de mon exo est de montrer la 1ere remarque.

Pour la 2nde, je ne vois pas vraiment le lien...(dsl de t'embeter depuis tout a l'heure..)

Ben, ma deuxième remqruqe te dit que le polynôme en question est le produit de toutes les racines p-ièmes de l'unité  sauf 1, si tu rajoutes le facteur (T-1), alors tu as toutes les racines de T^p-1 et donc ton polynome vaut T^p-1/(T-1)

merci...