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Raisonnement par l'absurde correct ?

Posté par
gui_tou 10-12-07 à 21:18

Bonjour

Je sors de DS, et une question me taraude.

Citation :
On pose : \large \rm \forall x\in [0,1] , \varphi(x)=\fra{3x}{{(1+x^2)}^2}. Montrer que : \large \rm \forall x\in [0,1] , \varphi(x)<1


Le prof utilise une méthode bourrine (étude de fonction).

J'ai raisonné par l'absurde, mais je ne sais pas si ce raisonnement est valable

\large \rm \forall x\in [0,1] , \varphi(x)\ge 1 \Leftrightarrow \fra{3x}{{(1+x^2)}^2} \ge 1 \Leftrightarrow 3x \ge {(1+x^2)}^2

Là le paramétrage est formel : cette inégalité est valable \large \rm \forall x\in [0,1].

Or pour x=0, on a \large \rm 0\ge 1  \large \rm \red{IMPOSSIBLE

\large \rm \blue\fbox{Conclusion :\\ \\ \forall x\in [0,1] , \varphi(x)<1

----------

C'est bon ?

Posté par
Nightmarere : Raisonnement par l'absurde correct ? 10-12-07 à 21:21

Bonsoir,

Non ce n'est pas bon, car la négation de 3$\rm \forall x\in [0,1] est 3$\rm \exist x\in [0,1]

Posté par
romure : Raisonnement par l'absurde correct ? 10-12-07 à 21:21

salut, si tu raisonnes par l'absurde, c'est que tu pars en supposant

\exists x\in[0,1],\ \varphi(x)\geq 1...


et non \forall x\in[0,1],...

Posté par
gui_toure : Raisonnement par l'absurde correct ? 10-12-07 à 21:22

Et mince

Merci vous deux

Posté par
gui_toure : Raisonnement par l'absurde correct ? 11-12-07 à 21:20

Bonjour

Et si, par étude de fonction je montre que la fonction \large \rm x\to 3x-{(1+x^2)}^2 est strictement négative sur 3$\rm \mathbb{R} ie \large \blue \fbox{\forall x\in\mathbb{R},\;3x<{(1+x^2)}^2, c'est en directe contradiction avec :

\fbox{\large%20\rm%20\forall%20x\in%20[0,1]%20,%20\varphi(x)\ge%201%20\Leftrightarrow%20\fra{3x}{{(1+x^2)}^2}%20\ge%201%20\Leftrightarrow%203x%20\ge%20{(1+x^2)}^2

Ca ne marche toujours pas ?

Merci !

Posté par
infophilere : Raisonnement par l'absurde correct ? 11-12-07 à 21:28

Pourquoi tu ne fais pas tout simplement l'étude de phi sur [0,1] ?

Posté par
gui_toure : Raisonnement par l'absurde correct ? 11-12-07 à 21:30

Ba de toute façon l'étude passe par un calcul de dérivée, recherche du signe de la dérivée, calcul des minima/maxima locaux ...

Il y a plus court ?

Posté par
infophilere : Raisonnement par l'absurde correct ? 11-12-07 à 21:36

Ben je vois pas pourquoi tu te poses tant de questions, fais l'étude pis voilà

Posté par
gui_toure : Raisonnement par l'absurde correct ? 11-12-07 à 21:40

De toute façon le devoir, c'était hier, il nous rend demain, alors tant pis


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