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Raisonnement par récurrence forte

Posté par
Skops 03-10-07 à 19:10

Bonjour,

3$C_0=1 et pour tout n, entier naturel, 4$C_{n+1}=\sum_{k=0}^n C_kC_{n-k}

Démontrer que pour tout n appartenant à IN, 4$C_n\ge 2^{n-1}

Je pense qu'il faut faire une récurrence forte

Comment fait on pour l'initialisation dans la récurrence forte ?
Auriez vous une piste pour le début de l'hérédité s'il vous plait ?

Merci

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 19:39

Bonjour
on initialise comme d'hab
pour l'hérédité, somme des 2^n pour k de 0 à n vaut (n+1)*2^n, et n+1>=2 dès que n >=1

Posté par
Nightmarere : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 19:40

Salut

En suppose que la propriété est vraie à un certain rang n et pour tout les rangs avant.

3$\rm C_{n+1}=C_{0}C_{n}+C_{1}C_{n-1}+...+C_{n}C_{0}\ge 1\times 2^{n}+2\times 2^{n-1}+2^{2}\times 2^{n-2}+...+2^{n}\times 1=2\times 2^{n}=2^{n+1} est c'est gagné

Pour l'initialisation il faut montrer que la propriété est vraie au rang 0 et au rang 1.

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 19:41

Bonjour

Initialisation : P0 est vraie, P1, est vraie et on admet que Pn est vraie jusqu'à n ?

Je vais voir pour la suite, merci

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 19:41

Jord : (n+1)2^n, pas 2\time 2^n, non ?

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 19:48

C1=2 ?

Skops

Posté par
Nightmarere : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 19:56

Oui, enfin il n'a pas dûr de montrer que pour n supérieur à 1, (n+1)2n > 2n+1

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 20:01

?

Skops

Posté par
Nightmarere : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 20:03

D'ailleurs c'est 3$\rm (n+1)2^{n-1}\ge 2^{n}.

Bref, tu y arrives?

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 20:04

Après le signe d'inégalité, tu mets 1*2^n + 2*2^{n-1} mais C1=1 non ?

Skops

Posté par
Nightmarere : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 20:09

Non ce n'est pas possible que C1=1 vu que Cn > 2n-1

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 20:11

Effectivement, argument pertinent

Mais je trouve que C1=C0C0 et wiki me dit que les premiers termes sont 1, 1, 2, 5, 14, 42...

Skops

Posté par
Nightmarere : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 20:32

Oui et je confirme wiki... Une erreur d'énoncé alors? A partir du rang 2 c'est clairement vrai, et la récurrence forte marche de la même manière.

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 20:44

Supérieur ou égale

Skops

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 21:08

Je ne vois pas comment ca peut marcher de la même manière par la suite puisqu'il n'y a plus de puissance de 2

Skops

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 21:32

On laisse tomber ma remarque

Skops

Posté par
Skopsre : Raisonnement par récurrence forte 03-10-07 à 22:00

Mais C0 =< 2^{-1} et Cn=< 2^n donc C0Cn=< 2^{n-1} non ?

Skops


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