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Niveau Maths sup
Raisonnements
Posté par Sabrina15
Bonjour,
J'ai un DM a rendre pour demain et je suis vraiment bloquée! Pourriez vous m aider svp?
L ennoncé est :
1)Soit n
, Calculer :
n
1/(k+1) * (k parmi n)
k=0
2) Montrer que : 
(n, N) 2 ,
n
(n parmi k) = (n+1 parmi N+1)
k=0
On pourra fixer n et faire une récurrence sur N.
Merci
Merci pour l aide
Mais je ne comprend pas comment vous êtes passé de n!/[k!(n-k)!]*1/(k+1) A 1/(n+1) * (n+1)!/[(k+1)!(n+1-k+1)!]
Vous avez multiplier par (n+1) et redivisé par celui ci?
(k+1) * k! = (k+1)!
Mais je ne comprend pas le " (n+1)!(n+1-k+1)! "
tu peux essayer avec n = 1 ou 2 ou ... mais ensuite il faut faire la démonstration avec n ....
fixer n c'est ... fixer n ... c'est donc un paramètre ... ou une constante dont tu ne connais pas la valeur ...
Ta première somme s(n) := k=0n C(n,k)/(k+1) n'est autre que P(1) si P := k=0n C(n,k)Xk+1/(k+1) .
Or P ' = k=0n C(n,k)Xk = (X + 1)n . Comme P(0) = 0 on a : P = (X + 1)n/(n+1) - 1/(n+1) et s(n) = P(1) = (2n+1 - 1)/(n+1)
Pour ta deuxième somme : On pose pour (n,N) ² tel que n 
N , t(n,N) = k=nN C(k,n) = j=0N-n C(n+j,n) = j=0N-n C(n+j,j) .
Si on pose p = N - n et u(n,p) := t(n,n+p) = j=0p C(n+j,j) , on est ramené à montrer que u(n,p) = C(n+p+1,n+1) = C(n+p+1,p) pour tout (n,p) ² .
La récurrence (sur p ) marche :
u(n,p+1) - u(n,p) = C(n+p+1,p+1) et propriété du triangle de Pascal .
P(N) :: k=0N C(n, k) = C(n + 1, N + 1)
k=0N+1 C(n,k) = k=0N C(n, k) + C(n, N + 1) = C(n + 1, N + 1) + C(n, N + 1) = C(n + 2, N + 2)
d'après la propriété du triangle de Pascal
donc P(N + 1) est vraie ....
Ah oui!
Et C(n+1, N+1) + C(n, N+1) = (n+2, N+2)?
Ce ne serait pas C(n+1, N+1) + C(n+2, N+1) = (n+2, N+2)? Mais j'avoue que je ne sais pas comment je pourrai obtenir C(n+2; N+2)...
Je n'arrive toujours pas à trouver comment obtenir C(n+2, N+1)
SVP pourriez vous m'aider?
Parce que la formule c'est bien ce que je vous ai envoyé (je viens de vérifier dans mon cours)
Et pour la question 1)
Je me suis arrêtée à (1/n+1) * k=0 n C(k+1, n+1)
Est ce que je peux avancer ou c'est le résultat final svp?
en fait la récurrence porte sur N
.... = C(n + 1, N + 1) + C(n, N + 1) = C(n + 1, N + 2)
alors plutôt .... car n est fixe ....
et ça c'est la même chose que ta formule de 17h25 avec n au lieu de n + 1 ...
pour la question 1/ tout à été dit ... à toi de vérifier et corriger d'éventuelles erreurs ... et de finir ....
Des erreurs? Je ne pense pas qu'il y en ai, je me demande juste à quoi est égale : k=0n C(k+1,n+1) ? Il n'y a rien dessus dans le cours...
c'est presque le binôme de Newton à un ou deux termes près ....
il suffit d'écrire un peu cette somme pour voir ...