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Rang d un endomorphisme
Bonjour,
comment déterminer en fonction des rangs r et s des matrices A et B de Mn(R), le rang de l'endomorphisme g(A,B), tel que:
g(A,B)(M)= A.M.tB
je pensais que g(A,B) était de rang min(r,s), mais finalement je n'en suis pas convaincu!
merci d'avance pour votre aide
Bonjour Evgueny;
On identifie une matrice de à l'endomorphisme qui lui est associé dans la base canonique de
.
Notations:
* .
* .
démonstration:
Si on applique le théorème du rang à l'endomorphisme on peut écrire :
or
en d'autres termes c'est la dimension de l'espace des endomorphismes de
qui envoient
dans
et il n'est pas difficile de voir que cet espace est isomorphe à
(où
est un supplémentaire de
) ainsi:
et donc:
Voilà,s'il y'a un détail que tu ne comprends pas n'hésites pas à faire un autre post 
Merci elhor, encore une fois! je vais revoir plus en détail ta démo, mais à première vue, il ne devrait pas y avoir de problème.
oups! En fait je comprend plu trop à partir de "dim({M/M(Im(tB))
Ker A)}). pourrais-tu m'éclairer un peu? merci encore
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