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Rang d'un produit de matrices
Bonjour,
je cherche à démontrer de manière élégante que si A 
Mn,p et que BMp,q, alors rg(A
B)
min(rg(A), rg(B)).
J'ai essayé d'utiliser les applications linéaires canoniquement associés aux matrices mais je fais un peu trop de bidouillage à mon gout.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?
Merci.
Bonsoir,
Soient donc les applications et
associées,
Alors d'une part,
ainsi
et d'autre part on a clairement
On peut alors conclure avec le théorème du rang
.
Merci mais j'ai un peu de mal avec ta démonstration, voila comment je voyais les choses, ca rejoint peut-être ta démonstration:
Soit (e1, e2, ..., eq) la base canonique de 
q.
-alors rg( AB ) = rg[ f(g(e1)),..., f(g(e2)) ] = dim[ vect[ f(g(e1)),..., f(g(e2)) ] ]
or vect[ f(g(e1)),..., f(g(e2)) ] 
f(p) = Im(f) et dim[Im(f)] = rg(A)
donc rg( AB ) rg(A)
-de plus vect[ f(g(e1)),..., f(g(e2)) ] f[Im(g)] = f[ vect[ g(e1),..., g(eq)] ]
soit fF l'application linéaire restreinte à F = vect[ g(e1),..., g(eq) ], le théorème du rang donne:
dim[Im(fF)] dim(F) = rg(B)
donc rg( AB )rg(B)
Voila, je me complique peut-être un peu la vie mais est-ce que ce que j'ai fais tient debout?
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