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rang d'une comatrice
Bonjour
voici un exercice corrigé par mon prof mais je ne comprends pas quelques points.
Soit A
Mn(K) tel que M soit sa comatrice (comA=M)
Je dois montrer que rgA=n-1 => rgM=1 puis rgA<n-1 => M=0
Pour la première voici la correction :
Supposons que rgA=n-1
AtcomA = detAIn = 0 (je ne comprends pas pourquoi =0 ici..) donc Im (tcomA) 
KerA (pourquoi?)
donc rg(comA) = rgtcomA 
dimKerA
or rgA = n-1 donc il existe une matrice d'ordre n-1 extraite de A et inversible tel que au moins 1 des cofacteurs de A est non nul d'ou comA
0 donc rgcomA
1 donc rgcomA=1
Ensuite pour la seconde :
Supposons que rgA<n-1
Tous les clef de comA sont nuls car ce sont des déterminants de matrice carré d'ordre n-1 extraite de M (est ce que c'est une propriété??) , et on a donc comA = 0 donc M=0
Merci d'avance pour les explications.
Lafeuille
Et si tu ecris fg=o
Tu as bien im (g) inclus dans ker (f)
Ben la c'est pareil avec ton ecriture matricielle
Bonjour,
A est de rang n-1 dans un espace de dimension n, donc de déterminant?
x, A (tcomA x) = 0
(tcomA x) c'est dans l'image de tcomA et composé par A ca vaut 0 donc dans le noyeau de A.
Qu'est ce que l'image de (tcomA)?
voilà en espérant avoir répondu à ta question.
Pour la seconde désolé mais je ne sais pas ce qu'est une clef.
Bonjour,
pour la seconde : revois la définition de la comatrice de A, dont les coefficients sont formés en partie par les déterminants de matrices d'ordre n-1 extraites de A.
Ensuite on utilise le fait que toute matrice extraite de A a un rang inférieur ou égal à celui de A. Les déterminants évoqués ci-dessus sont donc tous nuls, ce qui entraîne la nullité de com(A).
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