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rang d'une matrice extraite d'une autre matrice
Me voilà avec un nouveau compte et après une dixaine d'années 
Ma question est simple et peut paraître stupide, mais puisque les études se compliquent en doctorat on oublie qq notions triviales.
Soit une matrice M ,mxn, à coef dans un GF, et dont le rang est r:
Soit une matrice M1 extraite en éliminant une ligne et une colonne de M.
Si ce qui a été éliminé a au fait contribué à l'augmentation du rang M, alors M1 sera NECESSAIREMENT de rang (r-1)?
Autrement dit, si M est inversible et que l'on extraint une matrice (éliminant k lignes et k colonnes, k<r) alors rang M1 est nécessairement (r-k)?
Si ce que je raconte n'a pas de sens alors svp donnez moi un contre exemple, sinon une petite piste pour le prouver.
Je vous remercie d'avance!
Haha, rapidement eue! Merci.
Je continue avec éliminer une colonne stp. C'est triste je n'ai pas de contre exemples 
Autre question, si on connais d'avance une certaine matrice inversible qu'on utilise pour résoudre un certain système linéaire, peut-on conserver ces étapes de l'élimination Gaussienne pour résoudre plus rapidement l'autre système? Cela coutera n^2 opérations pour l'inversion si taille M est nxn? Correct?
Merci encore
Je suis confuse parce que j'ai des petits résultats que j'ai prouvés qui disent que si on extrait une matrice nxn d'un corps fini alors elle a une probabilité d'être inversible égale à:
P = (
(q^n - q^j))/q^(n^2) ,0
j n-1
Sachant que l'on parvient à trouver cette matrice inversible, alors la matrice extraite de ses (n-1) colonnes doit être inversible avec probabilité = 1.
Je trouve une difficulté à expliquer puisque je ne vois pas la table latex. Je pourrais expliquer autrement ou attacher un screenshot.
Merci
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