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Niveau maths spé
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Rang de la matrice complémentaire (comatrice)

Posté par
wazatax
02-05-10 à 10:59

Bonjour,

Voilà ma question est toute simple : je cherche à exprimer le rang de la comatrice à d'une matrice A, en fonction du rang de A.

Je sais qu'il faut distinguer les cas suivants :

1] A est de rang n
2] A est de rang n-1
3] A est de rang inférieur à n-1

J'ai réussi à montrer facilement le premier cas en partant de la relation fondamentale    A.Ã = Det(A).In   mais je n'arrive pas à montrer les deux autres. Il me semble qu'il faut raisonner sur les cofacteurs, mais je ne trouve pas vraiment comment faire.

Avez vous des idées ?

D'avance merci

Posté par
LeHibou
re : Rang de la matrice complémentaire (comatrice) 02-05-10 à 11:31

Bonjour,

Mieux qu'une idée, j'ai une piste :

Posté par
wazatax
re : Rang de la matrice complémentaire (comatrice) 02-05-10 à 11:36

Bonjour LeHibou,

Tout d'abord merci pour ta réponse !

Mais c'est un sacré hasard (ou alors on a eu tous les deux le même réflexe) mais j'ai trouvé exactement le même PDF hier, qui m'a fait me creuser la tête sur les cofacteurs justement. Mais il n'est rien détaillé dedans (peut être pasque ça doit être évident, mais je passe à coté ! =P), du coup je comprends pas très bien ce qu'il fait !

C'est pour ça que j'aurais voulu avoir des précisions ^^

Posté par
Noflah
re : Rang de la matrice complémentaire (comatrice) 02-05-10 à 14:22

Bonjour,

il faut utiliser cette même relation dans les 3 cas :

2) si rg A = n-1,  det A = 0, donc t(com A)*A=A*t(comA)=0 -> passe le en langage fonctionnel et tu en déduis rg com A = rg t(com A) = 1
3) si rg A < n-1, alors tu peux ramener ta matrice avec 2 colonnes nulles (rang invariant par changement de base) et les coefficients de la comatrice étant les mineur de la matrice, ils font nécessairement apparaitre au moins 1 des 2 colonnes nulle (ce sont des déterminants (n-1)x(n-1) ) et donc la comatrice est nulle dans ce cas la.

Posté par
wazatax
re : Rang de la matrice complémentaire (comatrice) 02-05-10 à 14:56

Salut,

Merci du coup de main, ça roule ^^

Pour ceux que ça intéresse, je suis passé par là pour le 2 :

Endomorphismes u et v associés aux matrices A et Ã, puis par la remarque vou=O_{Le} \Longrightarrow Im(u)\subset ker(v). Par théorème du rang on trouve le résultat

Posté par
Mileys
une autre méthode 11-01-11 à 15:13

Bonjour,
Wazatax j'ai une autre méthode...Bref
pour rg(A)< n-1 on a toute matrice extraite de A est de rang inférieur strictement à n-1 ,elle n'est jamais inversible
donc son déterminant est nul , alors tous les cofacteurs sont nuls
donc la comatrice est la matrice nulle, alors son rang est nul .
j'espére que cette démonstration soit valide et Merci!!



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