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Rang de matrice

Posté par
matheux14
23-02-22 à 21:31

Bonsoir

Déterminer le rang suivant les valeurs du paramètre a, le rang de la matrice suivante :

a+ \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1-a & 2 \\ a+1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

J'ai calculer le déterminant de la matrice A : det A = a(a² - 4)


det A = 0 <=> a = 0 ou a = 2 ou a = -2

Donc pour a = 0 ou a = 2 ou a = -2, la matrice A est de rang 1.

Posté par
Rintaro
re : Rang de matrice 23-02-22 à 21:43

Bonsoir,

je ne vois pas comment tu passes à cette conclusion. Si ton déterminant est juste, alors pour a dans {0,2,-2}, on sait seulement que A n'est pas de rang 3. Il faut ensuite justifier si, dans ces cas, elle peut être de rang 2 ou non.

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 21:43

Bonsoir,

Ton déterminant est correct, mais pas tes conclusions.

Revoie chaque cas l'un après l'autre.

Posté par
Rintaro
re : Rang de matrice 23-02-22 à 21:45

Bonsoir larrech, je m'en vais pour ce soir, je vous laisse

bonne continuation matheux14

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 21:46

matheux14 @ 23-02-2022 à 21:31

Bonsoir

Déterminer le rang suivant les valeurs du paramètre a, le rang de la matrice suivante :

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 1-a & 2 \\ a+1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

J'ai calculer le déterminant de la matrice A : det A = a(a² - 4)


det A = 0 <=> a = 0 ou a = 2 ou a = -2

Donc pour a = 0 ou a = 2 ou a = -2, la matrice A est de rang 1.

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 21:53

Bonsoir Rintaro

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:06

Pour a = 0 ; A=  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:10

Le déterminant est non nul donc la matrice est de rang 3

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:10

Cas a=0.  que peux-tu dire dans ce cas des vecteurs colonnes?

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:12

Citation :
Le déterminant est non nul donc la matrice est de rang 3


Bien sûr que non. Ton premier calcul est bon, le déterminant s'annule pour a=0, a=2 et a=-2

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:24

Pour a = 0 ; A=  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} et det A \neq 0 non ?

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:26

Oups

matheux14 @ 23-02-2022 à 22:24

Pour a = 0 ; A=  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} et det A = 0


Donc le déterminant est soit 2 soit 1 car A n'est pas nulle

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:27

* le rang

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:45

Le rang est soit 2 soit 1, oui.

Regarde si la 3ème colonne n'est pas combinaison linéaire des 2 autres .

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:49

Oui c'est la somme des colonnes 1 et 2

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:49

Donc le rang de la matrice est 2

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:54

Oui  parce que les 2 autres vecteurs ne sont pas liés (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles)

Pour le cas a=2, regarde les lignes et pour le cas a=-2, les colonnes encore.

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 22:59

ok

dans le cas où c'est différent de 0 ; 2 ou -2

La matrice est donc de rang 3

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 23:04

Citation :
matheux14 @ 23-02-2022 à 22:59

ok

dans le cas où a est différent de 0 ; 2 ou -2

La matrice est donc de rang 3


oui

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 23:33

Un truc utile à savoir :

le rang est l'ordre du déterminant non nul le plus élevé qui puisse être extrait de la matrice.

Ici, tu as des matrices 3x3 dont on sait que le rang est 2 ou 1. Si tu peux en  extraire 1 déterminant 2x2 non nul, alors le rang est 2.

Posté par
larrech
re : Rang de matrice 23-02-22 à 23:34

Je ne reste pas connecté plus longtemps. Bonne nuit.

Posté par
matheux14
re : Rang de matrice 23-02-22 à 23:54

D'accord, merci et bonne nuit à vous aussi



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