Salut,

Le plus simplement...

Pour l'equivalence a demontrer: commence par la reciproque, ca me parait assez simple.
Ensuite, dans le sens direct: f est de rang 1. Ca veut dire quoi? (pense a l'image de f...).

Ca va aller...

Biondo

pour biondo, la réciproque te parait assez simple, bien à moi pas du tout! pourrais-tu m'éclairer? Ensuite en pensant à l'image de f, je suppose que tu fais référence à dim(im f)= rg f, mais comment continues-tu?
Désolé evgueny, mais cette démo me laisse aussi perplexe que toi!

OK, on y va:

Sens
on a donc .
De plus comme ni x ni u ne sont nuls, on a l'existence d'un tel que:

Alors f(t0) est non nul, il appartient a Im(f) et rg(f) >= 1.

au final rg(f) =1

On attaque la suite apres...

Hop, on y retourne, sens direct:

f est de rang 1, donc non nul, et il existe un t_0 tel que f(t0) <> 0 .
On pose f(t0) = x.

Alors pour tout t, on a f(t) colineaire a x, puisque f est de rang 1. Il existe donc un unique scalaire, que l'on note k pour le moment, qui depend de t et tel que f(t) = k.x.

On a donc defini une application qui a t associe un scalaire k. On note u(t) cette application, montrons qu'elle est lineaire:

f(a.t1 + b.t2) = u(a.t1 + b.t2).x par definition de l'application u
d'autre part f est lineaire donc:
f(a.t1 + b.t2) = a.f(t1)+b.f(t2) = (a.u(t1) + b.u(t2)).x (toujours la def de u...)

et x etant non nul, on obtient u(a.t1+b.t2) = a.u(t1)+b.u(t2)

donc u est lineaire, a valeurs dans IR, u est une forme lineaire, non nulle qui plus est car u(t0) = 1 par definition.

cqfd.

A+

biondo

Merci biondo pour ton aide. Pour information, quel est ton niveau? Je trouve cet exo très dur.

Juste une dernière chose, je ne comprend pas porquoi im(f) vect(x)...

Je suis ingenieur... j'etais en classes prepas il y a maintenant quelques annees. mais tu vois, ca ne s'oublie pas

Ah...

Soit y Im(f). t tel que f(t) = y.
mais comme f(t) = u(t).x, on a y = u(t).x

Donc y est lie a x, et y Vect(x)

Comme c'est vrai quel que soit y dans Im(f), on a l'inclusion.

A+
b