Bonjour

Un mineur est le déterminant d'une matrice carrée extraite de la matrice obtenu en "rayant" un certain nombre de lignes ou de colonnes. Si le determinant de la matrice entière est non nul, le rang est celui de la matrice. Si on a un mineur non nul, les colonnes dont il fait partie sont linéairement indépendantes, donc le rang de la matrice est supérieur à la taille du mineur. Si cette taille est maximale, c'est égal au rang.

Exemple:



Les 4 termes encadrés (par exemple) donnent un mineur non nul, donc le rang est supérieur à 2. Je te laisse le plaisir (si tu as le courage) de vérifier que TOUS les mineurs sont nuls.

Je vous remercie de votre réponse.
J'ai compris que vous faisiez référence aux familles libre de la matrice qui permettent de déterminer l'ordre de la matrice et donc ensuite son rang.Je vois aussi pourquoi si le mineur est nul, les colonnes sont linéairement indépendantes et constituent une famille libre. Mais je ne vois pas pourquoi dans ces conditions,le rang de la matrice serait supérieur à la taille du mineur, par taille je pense que vous voulez dire le nombre de ligne colonne?
Merci d'avance.

Oui, par taille je veux dire nombre de lignes colonnes, pour ne pas confondre avec le rang!

Si un mineur est NON NUL, la famille de vecteurs dont il fait partie est LIBRE. Donc un mineur non nul, entraine l'existence de k colonnes linéairement indépendantes. La dimension de l'image est donc au moins k, c'est-à-dire rang supérieur à k.

Oui désolé, c'est une faute de frappe, je voulais dire non nul.
Donc par ordre maximal d'un mineur, on entend la taille de la matrice?
Et par exemple
1   0   0  -1
-1  0   1   1
-1  1   0   1
0   0   0   0
, pour cette matrice, on aurait son rang égal à 3 parce qu'un de ses mineurs différent de 0 aurait 3 colonnes et 3 lignes?
Merci d'avance.

Exactement! et parceque le rang n'est pas 4 puisque le déterminant est nul.

Ok je crois comprendre. Je pensais que tout reposait sur les mineurs, mais le déterminant peut déterminer aussi la dimension puisque c'est "le premier mineur". En fait, je ne pensais pas qu'il était possible de déterminer un mineur d'un autre mineur sans prendre en compte l'élément pivot; celui à partir du quel on "raye" la ligne et la colonne.
Je vous remercie.

comme  rg f= dim Imf  il faut trouver une base de Imf donc le maximum de vecteurs libres de ta matrice ici avec la règle de Sarrus on peut trouver un sous déterminant 3x3 non nul et le rang est donc 3 .

ex  1 0 0
   -1 0 1
   -1 1 0   a pour déterminant  -1  donc non nul ==>  rg= 3